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\begin{document} 
\setlength\parindent{0mm} 
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Brevet des collèges} 
\lfoot{\small{mars 2003}} 
\rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} 
\pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Nouvelle-Calédonie mars 2003~\decofourright}}}\end{center}

 \vspace{0,5cm} 
 \textbf{Activités numériques \hfill 12 points} 
 
 \bigskip 
 
 \textbf{Exercice 1 } 
 
 \medskip 
 
 Calculer A et B et présenter les résultats sous forme de fractions irréductibles. 
 
 \[ \text{A} = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}\right) + \dfrac{7}{6} \qquad \text{B} = \dfrac{5 \times 10^8 \times 6 \times 10^3}{2 \times \left(10^4\right)^3}.\] 
 
 \bigskip 
 
 \textbf{Exercice 2} 
 
 \medskip 
 
 On pose E = $(3x - 1)(x + 5) - (3x - 1)^2$. 
 \medskip 
 
 \begin{enumerate} 
 \item Développer et réduire E. 
 \item Factoriser E. 
 \item Résoudre l'équation $(3x - 1)(-2x + 6) = 0$. \end{enumerate} 
 
 \bigskip 
 
 \textbf{Exercice 3} 
 
 \vspace{0,7cm} 
 
 \parbox[l]{0.4\textwidth}{\psset{unit=0.6cm} 
 \begin{pspicture}(-4,-6)(6,8) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.15pt](0,0)(-4,-6)(6,8) \uput[dr](0,0){O} 
% \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-4,0)(6,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-6)(0,8) 
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-6)(6,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
 \uput[dr](1,0){1} 
 \uput[ul](0,1){1} \uput[d](5.8,0){$x$} 
 \uput[l](0,7.7){$y$} \psline[linewidth=1.25pt](-4,2)(6,2) \psline[linewidth=1.25pt](-3,-6)(3.5,7) \psline[linewidth=1.25pt](-3.5,-1.5)(4.5,6.5) 
 \uput[u](-2.5,2){$d_1$} \uput[u](-2.5,-2){$d_2$} 
 \uput[u](-2.5,-4.5){$d_3$} 
 \end{pspicture}} \hfill 
 \parbox[l]{0.55\textwidth}{On considère les fonctions $f,~g$ et $h$ définies par : $f(x) = x + 2, \qquad g(x) = 2,$
 
$h(x) = 2x.$ Recopier et compléter le tableau ci-dessous en associant à  chacune d'elles la droite qui lui correspond dans le repère. \begin{center}\begin{tabular}{||c | c ||}\hline Fonction affine & Droite \\ & correspondante\\ \hline $f(x) = x + 2$ & \\ \hline $g(x) = 2$ & \\ \hline $h(x) = 2x$& \\ \hline \end{tabular}\end{center}} 
 
 \newpage 
 
 \textbf{Activités géométriques \hfill 12 points} 
 
 \bigskip 
 
 \parbox[l]{0.47\textwidth}{\textbf{Exercice 1} Les droites (BE) et (FC) sont parallèles. AB = 6 cm, AC = 15 cm et 
 
 AF = 12 cm. 
 
\begin{enumerate} 
\item Calculer la longueur AE. \item Sachant que AK = 30 cm, démontrer que les droites (BF) et (CK) sont parallèles. 
\item Sachant que FC = 9 cm, démontrer que le triangle AFC est rectangle en F.\end{enumerate}} \hfill 
\parbox[l]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(7,4.3) \psline(5.4,0.5)(0,2)(6.75,4.3) \psline(1.9,0.9)(0.5,3.05) \psline(3.95,0.3)(2.05,3.4) \uput[u](0,2){A} \uput[d](1.4,1.4){B} \uput[d](3.5,1){C} \uput[u](1,2.4){E} \uput[u](2.4,2.8){F} \uput[u](5.8,4){K} \qdisk(5.8,4){1pt} \end{pspicture}} 
 
 \bigskip 
 
\textbf{Exercice 2} \medskip Un avion, de tourisme est en phase d'approche de l'aérodrome de Magenta suivant le trajet AC. On donne : 

\medskip
 
\begin{itemize} 
\item altitude de l'avion : AB = 1058 m ; 
\item $\widehat{\text{ACB}} = 30\degres$. 
\end{itemize} 
 
\vspace{0,5cm} 
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(11,3.5) \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,3)(6.4,0) \psline[linewidth=2.5pt](0,0)(11,0) \psframe(0,0)(0.2,0.2) \uput[ur](0,3){A(vion)} \uput[dl](0,0){B} \uput[d](6.4,0){C} \uput[d](10.15,0){D} \psarc(6.4,0){0.5cm}{150}{180} \uput[l](5.8,0.2){30 \degres} \end{pspicture}\end{center} 
 
\bigskip
 
\begin{enumerate} 
\item Démontrer que la longueur AC qu'il reste à  parcourir à  l'avion pour rejoindre le point d'atterrissage C est égale à  \np{2116}~m. 
\item Sachant que cet avion se déplace de A vers C avec une vitesse constante $v$ de 92 mètres par seconde, calculer le temps qu'il mettra pour parcourir la distance AC. 
\item Trouver, en mètres (arrondis au dixième), la distance CD nécessaire à  l'arrêt de l'appareil ; cette distance se calcule grâce à  la formule suivante : CD = $\dfrac{2v^2 + \np{6600}}{25}$ où $v$ est la vitesse en mètres par seconde de l'appareil lorsqu'il touche le sol en C. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème \hfill 12 points} 

\bigskip 

\emph{On se placera dans un repère orthonormé} (O, I, J) \emph{où l'unité est le centimètre et on complétera la figure au fur et à  mesure des questions.}

 \medskip 
 
 \begin{enumerate} 
 \item Tracer ce repère et placer les points A(1 ; 5),~B$(-1~;~3)$ et K$(7~;~-1)$. \item On appelle G le milieu du segment [BK]. montrer par le calcul que les coordonnées du point sont $(3~;~1)$, puis le placer sur la figure. 
 \item Construire le point R symétrique du point A par rapport au point G. lire les coordonnées du point R sur le graphique. \item Montrer que BK = $4\sqrt{5}$ cm. 
\item Sachant que RA = $4\sqrt{5}$ cm, montrer, sans nouveau calcul, que ABRK est un rectangle. 
\item Tracer le cercle ($\mathcal{C}$) de diamètre [BK] et montrer que son rayon GB est égal à  $2\sqrt{5}$ cm. 
\item Placer le point E$(1~;~-3)$ ; calculer GE et en déduire que ce point E appartient au cercle ($\mathcal{C}$). \item En déduire, sans aucun calcul, que le triangle BEK est rectangle en E. \end{enumerate}
\end{document}
 %%%%% Fin Nouvelle-Calédonie mars 2003 