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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{mars 2003}}
\rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Nouvelle-Calédonie mars 2003~\decofourright}}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités numériques \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

Calculer A et B et présenter les résultats sous forme de fractions 
irréductibles.

\[ \text{A} = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}\right) + \dfrac{7}{6} 
\qquad  \text{B} = \dfrac{5 \times 10^8 \times 6 \times 10^3}{2 \times \left(10^4\right)^3}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2} 

\medskip

On pose E = $(3x - 1)(x + 5) - (3x - 1)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire E.
\item  Factoriser E.
\item  Résoudre l'équation $(3x - 1)(-2x + 6) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\vspace{0,7cm}

\parbox[l]{0.4\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-6)(6,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white](0,0)(-4,-6)(6,8)
\uput[dr](0,0){O}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-4,0)(6,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-6)(0,8)
\uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1} 
\uput[d](5.8,0){$x$} \uput[l](0,7.7){$y$}
\psline[linewidth=1.25pt](-4,2)(6,2)
\psline[linewidth=1.25pt](-3,-6)(3.5,7)
\psline[linewidth=1.25pt](-3.5,-1.5)(4.5,6.5)
\uput[u](-2.5,2){$d_1$}
\uput[u](-2.5,-2){$d_2$}
\uput[u](-2.5,-5){$d_3$}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox[l]{0.55\textwidth}{On considère les fonctions $f,~g$ et $h$ 
 définies par :
 
$f(x) = x + 2, \qquad g(x) = 2, \qquad h(x) = 2x.$

Recopier et compléter le tableau ci-dessous en associant à chacune d'elles 
la droite qui lui correspond dans le repère.

\begin{tabular}{||c | c ||}\hline
Fonction affine & Droite \\ 
 & correspondante\\ \hline
$f(x) = x + 2$ & \\ \hline
$g(x) = 2$ & \\ \hline
$h(x) = 2x$& \\ \hline
\end{tabular}}

\newpage

\textbf{Activités géométriques \hfill 12 points}

\bigskip

\parbox[l]{0.47\textwidth}{\textbf{Exercice 1}
 
Les droites (BE) et (FC) sont parallèles.

AB = 6 cm, AC = 15 cm et AF = 12 cm.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la longueur AE.

\item  Sachant que AK = 30 cm, démontrer que les droites (BF) et (CK) sont  parallèles.

\item  Sachant que FC = 9 cm, démontrer que le triangle AFC est rectangle en F.\end{enumerate}} \hfill
\parbox[l]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(7,4.3)
\psline(5.4,0.5)(0,2)(6.75,4.3)
\psline(1.9,0.9)(0.5,3.05)
\psline(3.95,0.3)(2.05,3.4)
\uput[u](0,2){A} \uput[d](1.4,1.4){B} \uput[d](3.5,1){C} 
\uput[u](1,2.4){E} \uput[u](2.4,2.8){F} \uput[u](5.8,4){K}
\qdisk(5.8,4){1pt}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2} 

\medskip

Un avion, de tourisme est en phase 
d'approche de l'aérodrome de Magenta suivant le trajet AC.

On donne :

\begin{itemize}
\item  altitude de l'avion : AB = 1058 m ;

\item  $\widehat{\text{ACB}} = 30°$.
\end{itemize}
\vspace{0,5cm}

\begin{center}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(11,3.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,3)(6.4,0)
\psline[linewidth=2.5pt](0,0)(11,0)
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\uput[ur](0,3){A(vion)} \uput[dl](0,0){B} 
\uput[d](6.4,0){C} \uput[d](10.15,0){D}
\psarc(6.4,0){0.5cm}{150}{180}
\uput[l](5.8,0.2){30 \degres}
\end{pspicture}\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la longueur AC qu'il reste à parcourir à l'avion pour  rejoindre le point d'atterrissage C est égale à \np{2116}~m.
\item  Sachant que cet avion se déplace de A vers C avec une vitesse constante $v$ de 92 mètres par seconde, calculer le temps qu'il mettra pour parcourir la distance AC.
\item  Trouver, en mètres (arrondis au dixième), la distance CD nécessaire à l'arrêt de l'appareil ; cette distance se calcule grâce à la formule  suivante : 

CD = $\dfrac{2v^2 + \np{6600}}{25}$ où $v$ est la vitesse en mètres par seconde de l'appareil lorsqu'il touche le sol en C.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème  \hfill 12 points} 

\bigskip
 
\emph{On se placera dans un repère orthonormé} (O, I, J) \emph{où l'unité est le  centimètre et on complétera la figure au fur et à mesure des questions.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Tracer ce repère et placer les points A(1 ; 5),~B$(-1~;~3)$ et 
K$(7~;~-1)$.
\item  On appelle G le milieu du segment [BK]. montrer par le calcul que les 
coordonnées du point sont $(3~;~1)$, puis le placer sur la figure.
\item  Construire le point R symétrique du point A par rapport au point G. 
lire les coordonnées du point R sur le graphique.
\item  Montrer que BK = $4\sqrt{5}$ cm.
\item  Sachant que RA = $4\sqrt{5}$ cm, montrer, sans nouveau calcul, que ABRK 
est un rectangle.
\item  Tracer le cercle ($\mathcal{C}$) de diamètre [BK] et montrer que son 
rayon GB est égal à $2\sqrt{5}$ cm.
\item  Placer le point E$(1~;~-3)$ ; calculer GE et en déduire que ce point E 
appartient au cercle ($\mathcal{C}$).
\item  En déduire, sans aucun calcul, que le triangle BEK est rectangle en E.
\end{enumerate}
%%%%%  Fin Nouvelle-Calédonie mars 2003
\end{document}