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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 1970}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Nouvelle Calédonie novembre 1970~\decofourright}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}


\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\bigskip

Sur un axe, on place le point M d'abscisse $x$ puis le point M$'$ d'abscisse $5 - x$, l'unité étant le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le milieu de MM$'$ reste fixe quand $x$ varie. 

M et M$'$ peuvent-ils être confondus ?
\item Calculer, en fonction de $x$, $\overline{\text{MM}'}$ et la longueur du segment
MM$'$.
\item Calculer $x$ pour que cette longueur soit égale à 8~cm.
\item Dans un système d'axes rectangulaires $x'\text{O}x,\, y'\text{O}y$, où l'on prend le centimètre pour unité de longueur, on place le point P de coordonnées $a$ et $5 - a$.

 Sur quelle courbe se déplace P quand $a$ varie ?
 
Construire cette courbe.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en A et tel que AB = AC $= a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le cercle inscrit dans ce triangle.
\item Soit I le centre de ce cercle, $x$ son rayon, M le point de
contact avec BC. 

Calculer AM en fonction de $a$. 

Montrer que  AI $= x\sqrt{2}$ et déduire de ces deux résultats la valeur de $x$ en  fonction de $a$.
\item Le cercle inscrit coupe AM en un deuxième point P. 

La  tangente en P à ce cercle coupe AB en B$'$ et AC en C$'$.

Calculer AB$'$, AC$'$ et le rayon $r$ du cercle inscrit dans le tria AB$'$C$'$ en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}