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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Cameroun}}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1959~\decofourright\\[7pt]
Cameroun }}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



\smallskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que
\[x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = \left(x^2 + 3x + 1\right)^2 - 1.\]

\item On considère 
\[E(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3).\]

Quelles sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x) = 0$ ?

Calculer $E(x)$ pour $x = - \dfrac12$.
\item On considère l'expression $\left(x^2 + 3x + 1\right)^2 - 1$ ; la décomposer sous forme d'un produit de trois facteurs.
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un cercle de diamètre [MN] tel que MN $= 2R$ de centre O et un point A sur ce cercle.

On trace la tangente en A à ce cercle et les perpendiculaires (MP) et (NQ) à cette tangente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles MPA et MAN, puis les triangles NQA et NAM.

En déduire que 
\[\begin{array}{l l c l}
(1)&\text{MA}^2&=&2R \times \text{MP}\\
(2)&\text{NA}^2&=&2R \times \text{NQ}
\end{array}\]

&\item On considère le quadrilatère MPQN.

Montrer que l'on a MP + NQ = 2OA.
\item En utilisant les relations établies, démontrer que
\begin{center} MA$^2 +$ NA$^2 = 4R^2$.\end{center}
\item On appelle $x$ la mesure de l'angle $\widehat{\text{MAP}}$.

Calculer les valeurs de MP et NQ et déterminer la nature du quadrilatère MPQN lorsque $x = 45\degres$.

Calculer dans ce cas NA et MA.
\end{enumerate}
\end{document}