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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Cameroun }
\lfoot{\small juin 1980}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Cameroun  juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'équation $3x = 2$ a-t-elle des solutions dans $\N$ ?
		\item Soit la proposition mathématique:
\[ \forall y \in \N,\quad \exists z \in \N,\quad  zy = 2.\]

Donner sa négation. Laquelle des deux propositions est vraie?
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire dans un ensemble $E$.

Donner la négation de la proposition suivante :

\[\forall(x,~y)\in E^2,\quad (x \mathcal{R} \Rightarrow y \mathcal{R} x).\]

\item Soit $E= \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9\}$. Sur $E$, on définit la
relation binaire \og ... divise... \fg, notée $|$ par

\[\forall(x,~y)\in E^2,\quad  (x | y \iff  \exists k \in \N^*, \: y = k . x).\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner le graphe $G$ de cette relation.
		\item On admettra que cette relation est une relation d'ordre. 
		
6 et 8 sont-ils comparables ? Cette relation est-elle une relation d'ordre total ?
		\item Résoudre dans $E$ les équations suivantes : 
		\[ x | 6, \qquad 3 | x.\]
Indication : $x | y \iff  (x, y) \in G$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $f_m$ la fonction numérique de la variable réelle définie par

\[\forall x \in \R, \:\: f_m(x) = (2 - m)x + m - 1\]
où $m$ est un réel donné.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $m$ pour que $f_m(2) = 4$.
\item Déterminer l'image de $1 + \sqrt 2$ par chacune des
fonctions $f_3 \circ f_{2}$ et $f_{-2} \circ f_3$.

Démontrer que 
\[f_3 \circ f_{-2}  = f_{-2} \circ f_3.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $m$ pour que $f_m$ soit une fonction
strictement croissante.
		\item Déterminer $m$ pour que $f_m$, soit une fonction constante. 
		
Quelle est la valeur de cette constante ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit \Oij{} un repère orthonormé du plan.

À chaque valeur réelle de $m$ on associe la droite $\left(D_m\right)$ d'équation 

\[y = (2 - m)x + m - 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'intersection de la droite $\left(D_m\right)$ et de
l'axe O$x$ ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter les droites $\left(D_{-2}\right)$ et $\left(D_{0}\right)$. 
		
Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection I ?
		\item Démontrer que toutes les droites $\left(D_m\right)$ passent par I.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $S$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ associe le point $S(M)$ de coordonnées $(x'~;~y')$ telles que
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x'&=& y\\
y'&=& x.
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les images des points A$(0~;~-1)$, B$(2~;~5)$ et I(1~;~1), et les placer dans le repère.
		\item Comparer $d$(I, A) et $d(S(\text{I}), S(\text{A}))$ d'une part,
$d$(I, B) et $d$($S$(I), $S$(B)) d'autre part.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tel  que $M = S(M)$.
\item On suppose $m \ne 2$. Soit $M(x~;~y)$ un point de la droite $\left(D_m\right)$ définie en B. 

Quelle relation vérifient les coordonnées $(x'~;~y')$ de $S(M)$ ?

En déduire l'image de la droite $\left(D_{-2}\right)$ par $S$.
\end{enumerate}
\end{document}