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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Centrafrique\footnote{Madagascar} juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs numériques de $x$ ou
de $y$ qui annulent les dénominateurs des fractions 

\begin{center}$A = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$\qquad  et \qquad  $B = \dfrac{y^2 - 1}{y^2 + 2y + 1}$ ?\end{center}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ ou de $y$ ces fractions sont-elles nulles ?
(Les dénominateurs sont supposés différents de $0$.)
	\end{enumerate}
\item Simplifier les fractions et les calculer pour $x = 4$  et $y = \dfrac12$.
\item Exprimer $A - B$ sous forme de fraction.
\item Si l'on a simultanément $A - B = 2$ et $xy = 2$, calculer $x$ et $y$.

Vérifier à l'aide des résultats numériques de la question 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Sur deux axes de coordonnées rectangulaires, $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$, où le vecteur unitaire a pour longueur $1$~cm, on place le point A d'abscisse $1,5$ et d'ordonnée 1
et le point B d'abscisse (3) et d'ordonnée $- 2$.

A se projette orthogonalement en M sur $x'x$ et en N sur $y'y$.

B se projette orthogonalement en P sur $x'x$ et en Q sur $y'y$.

(AB) coupe $x'x$ en D et $y'y$ en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir la similitude des triangles MOA et POB. 
\item Montrer que les axes sont les bissectrices de l'angle $\hat{\text{O}}$ du triangle AOB.
\item Trouver la valeur numérique des rapports

\begin{center}$\dfrac{\overline{\text{DA}}}{\overline{\text{DB}}}$  \qquad et \qquad $\dfrac{\overline{\text{EA}}}{\overline{\text{EB}}}$\end{center}
\item Calculer le rapport  $\dfrac{\text{OA}}{\text{OB}}$ et énoncer, en utilisant les résultats de la question 3., une propriété des bissectrices d'un angle d'un triangle.
\end{enumerate}
\end{document}