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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Centrafrique}
\lfoot{\small juin 1964}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Centrafrique\footnote{Istanbul, Rome, Turquie} juin 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{\large ALGÈBRE}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Mettre le polynôme $9x^2 - 6x + 1$ sous la forme d'un produit de facteurs.
\item Décomposer en un produit de trois facteurs du premier degré l'expression
\[E(x) = 9x^2 - 6x + 1 - 3x(3x - 1) + 12x^3 - 4x^2.\]

Pour quelles valeurs de $x$ cette expression est-elle nulle ?

\item Simplifier la fraction rationnelle
\[F(x) = \dfrac{E(x)}{(9x - 3)(2x + 1)}.\]
\item On désigne par $G(x)$ l'expression obtenue.

Déterminer $x$ de façon que l'on ait $G(x) > - 2$.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{\large GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Deux droites perpendiculaires, $x'x,\: y'y$, se coupent en O.

On marque sur O$x'$ le point A tel que OA $= 3$~cm, sur O$x$ le point C tel que OC $= 8$~cm, sur O$y$ le point D tel que OD $= 4$~cm et, sur O$y'$, le point B tel que OB $= 6$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier la relation 
\[\overline{\text{OA}} \times \overline{\text{OC}} = \overline{\text{OB}} \times  \overline{\text{OD}}.\]

En déduire que le quadrilatère ABCD est inscriptible dans un cercle, $(\mathcal{C})$.
\item Indiquer une construction simple du centre, I, de $(\mathcal{C})$.
\item Calculer les longueurs des segments [AB], [CD] et le rayon, $R$, de $(\mathcal{C})$.
\item Démontrer que la perpendiculaire (OH) menée de O à (AB) passe par le milieu, M, du segment [CD].

Calculer MH.
\end{enumerate}
\end{document}