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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Clermont--Ferrand}
\lfoot{\small juin 1982}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont--Ferrand juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

$f$ et $g$ sont deux applications. de $\R$ dans $\R$ telles que

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(2x + 1)^2 - (- x  +3)^2\\
g(x)&=&x^2-16 - (2x + 8)(- 2x + 1).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$ et $g(x)$.
\item Quels sont les antécédents de $- 8$ par $f$ ?
\item Soit le réel $a = \dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2 + 1}$.

Écrire $a$ avec un dénominateur entier, puis calculer $f(a)$.

Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, donner un encadre- ment à $10^{-1}$ près de $f(a)$.
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation

\[(x +4)(3x - 2) = (x + 4)(5x - 6).\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, tracer les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives

\begin{center}$y = 3x - 2$\quad  et \quad  $y = 5x - 6$.\end{center}

\item Soit M le point d'intersection de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

Calculer· les coordonnées du point M. Vérifier graphiquement le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij,
d'axes $(x'\text{O}x)$ et $(y'\text{O}y)$, on donne les points 

\begin{center}A(2~;~1), \quad  B(0~;~2)\quad  et \quad C(-1~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On considère le point D tel que $\vect{\text{AD}} = \vect{\text{BC}}$.

Calculer les coordonnées de D.

Montrer que le quadrilatère (A, B, C, D) est un carré.
\item On considère le point E symétrique de C par rapport à D. 

Calculer les coordonnées de E et justifier la nature du triangle (A, C, E).
\item Écrire une équation de la droite (AD). 

Calculer les coordonnées de F{}, intersection de (AD) avec $(y'\text{O}y)$.

Montrer que D est le milieu du segment [AF].
\item La perpendiculaire à (AD) en F coupe (AE) en G.

Calculer les coordonnées de G et la distance AG.

(On fera une figure soignée.)
\end{enumerate}
\end{document}