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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont-Ferrand juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit l'expression

\[y = \dfrac{1}{2 + \dfrac{2x}{- x + \dfrac12}}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur numérique de cette expression
pour $x = 0$ et $x = - \dfrac32$.
\item Simplifier l'expression $y$.
\item Calculer à nouveau, en se servant du résultat trouvé dans la deuxième question, la valeur numérique de $y$ pour les mêmes valeurs de $x$.

Vérifier les résultats trouvés dans la première question.
\item Étudier la fonction 
\[y = = -x + \dfrac12\]
 et construire la courbe représentative de celte fonction en prenant pour unité 2 cm.
 
La droite représentative de cette fonction passe-t-elle par le point A$\left(\dfrac12~;~0\right)$ et par le point B$\left(1~;~- \dfrac34\right)$ ?

Éventuellement, donner les fonctions dont les courbes représentatives sont des droites parallèles à la précédente passant par les points A et B.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

Ce diamètre divise le cercle en deux demi-cercles.

Soient P un point quelconque de l'une et I le milieu de l'autre.

La perpendiculaire menée de A à (PI) coupe cette dernière en M et la perpendiculaire menée de B à (PI) la coupe en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Position de PI pour l'angle $\widehat{\text{APB}}$.

Nature des triangles APM et BPIN.

Montrer que la perpendiculaire menée de M à (AP) passe par le point O.
\item Lieux géométriques des points M et N quand P parcourt le demi-cercle de A à B.
\item Dans le cas particulier où AP $= R$, exprimer en fonction de $R$ la mesure du segment [MN].

Quelle doit être dans ce cas la valeur de $R$ pour que MN $= \sqrt 2$ cm ?
\end{enumerate}
\end{document}