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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soient deux axes rectangulaires O$x$, et O$y$.

On appelle A le point de O$x$, tel que $\overline{\text{OA}} = + 4$ et B le point de O$y$ tel que $\overline{\text{OB}} = + 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe deux positions pour un point
C de O$x$, telles que le triangle BAC soit un triangle isocèle de sommet A.

Calculer les abscisses des deux points trouvés. (On trouvera un point d'abscisse positive et un point d'abscisse négative.)
\item On appelle C le point d'abscisse négative trouvé dans la première question.

Calculer les coordonnées du milieu I de [BC].

En déduire l'équation de (AI).
\item Déterminer les coordonnées du centre de gravité du triangle BAC.
\item (AI) coupe O$y$ en H.

Montrer que (CH) est perpendiculaire à (AB).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On divise un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ en cinq parties égales par les points C, D, E et F.

On désigne par I le point d'intersection des segments [OC] et [AE].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature des deux triangles AIC et EIO ?

En déduire la relation
\begin{center}AE $-$ AC $= R$.\end{center}
\item Comparer les triangles AIO et AOE et montrer
que les longueurs AC et AE vérifient la relation 
\begin{center}AC $\times$ AE $= R^2$.\end{center}
\item On mène de A une tangente [AT) au cercle de diamètre [IE], T désignant le point de contact. de la tangente et du cercle.

En utilisant ce qui précède, montrer que AT $ = R$.

Calculer en fonction de $R$ la distance de A au centre du cercle de diamètre [E,] puis les longueurs AE et AC.
\item De quel polygone régulier inscrit dans le cercle de rayon $R$, le segment [AC] peut-il être considéré comme le côté ?

Calculer en fonction de $R$ l'apothème de ce polygone.
\end{enumerate}
\end{document}