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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont-Ferrand juin 1955~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement le système

\[\left\{\begin{array}{l c r}
y&=&x-1\quad (1)\\
y-2x+ 4&=& 0\quad (2).
\end{array}\right.\]

\item Vérifier par le calcul le résultat obtenu sur le graphique.
\item Pour quelle valeur de $b$ la droite d'équation $y = 3x + b$ passe-t-elle par le point P commun aux deux droites trouvées dans la première question ?
\item La droite définie par l'équation (1) coupe l'axe $x'x$ en I  et $y'y$ en J.

La droite définie par l'équation (2) coupe $y'y$ en K.

On appelle H le pied de la perpendiculaire abaissée de P sur $y'y$.

Que représente PJ dans le triangle PHK ?

Préciser la position de I sur PJ et montrer que $\text{HI} = \dfrac{\text{PK}}{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Deux droites parallèles, XX$'$ et YY$'$, sont coupées par une sécante en A et en B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver, les points M et M$'$ équidistants des trois droites ?
\item Nature du quadrilatère AMBM$'$ ?
\item Prouver que MM$'$ passe par un point fixe quand les parallèles tournent en A et B.
\item Soient O le milieu de [AB], H et K les pieds des perpendiculaires abaissées de O sur XX$'$ et YY$'$.

Sur quelles lignes se déplacent les points H et K quand XX$'$ et YY$'$ tournent autour de A et B en restant parallèles ?
\end{enumerate}
\end{document}