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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Étant donnés deux axes de coordonnées rectangulaires (l'unité est le cm) X$'$OX et Y$'$OY, on construit sur X$'$OX les points M et P d'abscisses $\overline{\text{OM}} = 2,\: \overline{\text{OP}} = - \dfrac32$.

Calculer $\overline{\text{MP}}$ et $\overline{\text{OR}}$, R étant le point symétrique de M par rapport à P{}.
\item On construit le point A de coordonnées (2~;~2), le point B de coordonnées (- 3~;~4) et le point D de coordonnées $\left(- \dfrac32~;~- \dfrac32\right)$.

Utiliser la première question pour trouver les coordonnées du point C symétrique de A par rapport à D.
\item Équations des côtés du triangle ABC et de la hauteur issue de B.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit $(\mathcal{C})$ un cercle de centre O et de diamètre [AB] fixes.

M étant un point quelconque du cercle $(\mathcal{C})$, on trace le cercle $(\mathcal{C}')$ de centre M et de rayon MA qui recoupe le cercle $(\mathcal{C})$ en I ; C est le point diamétralement opposé à A sur ce cercle de centre M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points C, J, B sont alignés.

Démontrer que [BM) est bissectrice de $\widehat{\text{C}}$.

En déduire la courbe sur laquelle se déplace C lorsque M varie sur le cercle $(\mathcal{C})$.
\item Comparer les triangles OAM et MIC.

En déduire une relation entre AM, AO et CI.
\item Construire le point M lorsque CI $= \dfrac{\text{AM}}{2}$.

Calculer dans ce cas AI et IB en fonction du rayon $R$ du cercle $(\mathcal{C})$.
\end{enumerate}
\end{document}