\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Clermont-Ferrand juin 1957},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small juin 1957}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Une auto consomme $8$ litres d'essence aux $100$ km en plaine et $12$ litres d'essence aux $100$~km en montagne.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le prix de l'essence consommée par km dans les deux cas si l'essence vaut $80$~F le litre ?

Quel est le prix de l'essence consommée dans le trajet ABC, qui comprend une partie [AB] de $50$~km en plaine et une partie [BC] de $50$~km en montagne ?
\item Quel est le prix $y$ de l'essence consommée dans le trajet AM $= x$ de la route [AB] lorsque $x < 50$~km ?

Représentation graphique de $y$ en fonction de $x$.
\item Calculer le prix $y$ de l'essence consommée dans le trajet AM $= x$ de la route ABC lorsque $x > 50$~km.

Représentation graphique de $y$ en fonction de $x$.

Les deux graphiques seront tracés avec les mêmes axes de coordonnées et seront limités exactement.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soient un cercle de centre O, de rayon $R$ et une droite $(XY)$ extérieure au cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prend un point M sur $(XY)$.

Tracer avec la règle et le compas les deux tangentes au cercle issues de M.

On appellera A et B les deux points de contact.
\item Soit K le pied de la perpendiculaire menée de O sur $(XY)$ ; on appelle H et I les intersections de (AB) avec OM et OK respectivement.
	\begin{enumerate}
		\item En appliquant une relation métrique au triangle OAM, démontrer que 
\begin{center}OH $\cdot$ OM $= R^2$.\end{center}
		\item Démontrer que les triangles OHI et OMK sont semblables ; en déduire que 
\begin{center}OI $\cdot$ OK $= R^2$.\end{center}
	\end{enumerate}
\item On imagine maintenant que le cercle de centre O et la droite ($XY$) sont fixes mais que le point M est variable sur ($XY$).

MA et MB désignant. toujours les tangentes menées de M au cercle de centre O, démontrer que la droite (AB) passe par un point fixe.
\end{enumerate}
\end{document}