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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les multiplications suivantes 
\[\begin{array}{l}
\left(7 + 2\sqrt 7\right)\left(7 - 2\sqrt 7\right)\\
\left(\sqrt 7 - 2\right) \left(\sqrt 7 + 2\right) \\
\left(\sqrt 7 - 2\right)\left(7 - 2\sqrt 7\right)\\
\end{array}\]

et simplifier les résultats obtenus.
\item On donne les fractions
\[A = \dfrac{\sqrt 7 - 2}{7 + 2\sqrt 7}, \quad B = \dfrac{1}{\sqrt 7 + 2}, \quad C = \dfrac{1}{\sqrt 7}.\]
Rendre rationnel leurs dénominateurs en multipliant les deux termes de $A$ par $\left(7- 2\sqrt 7\right)$, les deux termes de $B$ par $\left(\sqrt 7 - 2\right)$
et ceux de $C$ par un nombre que l'on indiquera.
\item Effectuer la somme $S = A - B + C$ en remplaçant
$A,\: B,\: C$ par les fractions à dénominateurs rationnels trouvés au 2.
\item Calculer la racine carrée de 7 à un centième près (faire figurer l'opération sur la copie). 
En déduire une valeur approchée de $S$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB], de centre O.

On trace la corde [BC] telle que $\widehat{\text{ABC}} = 30\degres$ puis (CD) perpendiculaire à (AB).

On mène, en B la tangente [B$x$) au demi-cercle et on porte sur cette tangente le segment [BM] tel que BM $= 2$ CD.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle BCM ?
\item (MC) coupe (AB) en P.

Démontrer que (MC) est tangente en C au demi-cercle.
\item Quelle est la nature du triangle MOP ?

Si CD $= 4$~cm, quel est le rayon du demi-cercle ?
\end{enumerate}
\end{document}