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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{ \textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand juin 1959}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}



\smallskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'expression
\[A(x) = (x + 3)^2 - (x + 3)(x - 3)- (4x + 21).\]
	\begin{enumerate}
		\item L'expression $A(x)$ est en apparence du second degré.
		
Expliquer comment on peut voir très rapidement qu'elle est en réalité d'un degré plus faible.
		\item Développer l'expression $A(x)$ ; réduire et ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$.
	\end{enumerate}
\item Soit l'expression 
\[B(x) = \dfrac{4x^2 - 9 - 2(2x - 3)^2}{2x - 3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Mettre le numérateur sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
		\item Simplifier la fraction $B(x)$.
	\end{enumerate}
\item On considère les deux fonctions 
\begin{center}$y = 2x - 3$\qquad et \qquad $y = -2x + 9$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Représenter ces deux fonctions sur un même graphique  ; en abscisses, comme en ordonnées, l'unité sera représentée par 1 cm.
		\item Calculer les coordonnées du point M, intersection des deux droites ainsi obtenues, et vérifier sur le graphique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

{\small\textbf{N. B. -} Les trois parties du problème d'algèbre sont indépendantes.}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Un triangle isocèle (AB = AC,\: AB $>$ BC) est inscrit dans un cercle de centre O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la hauteur [AH] de ce triangle passe par O ; quelle est la forme du triangle AOB ?
\item La droite (BO) recoupe le cercle en D ; la perpendiculaire menée de A à (BD) coupe (BD) en E.

Démontrer que les triangles ABH et ABE sont égaux et que $\widehat{\text{ABH}} = \widehat{\text{BAE}}$.
\item La droite (AE) coupe le prolongement de [BC] en K.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle ABK est isocèle et semblable à ABC.
		
En déduire que 
\begin{center}BA$^2$ = BC $\cdot$ BK.\end{center}
		\item Utiliser la relation précédente pour démontrer que le cercle circonscrit au triangle ACK est tangent en A à (AB).
		
Démontrer que son centre se trouve sur la droite (AD).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}