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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quel nombre faut-il ajouter à l'expression 
\[A(x) = 4x^2 - 12x\]
pour qu'elle soit le développement du carré d'un binôme ?

Quel est ce binôme ?
\item Décomposer en produits de facteurs du premier degré les expressions suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
B(x) &=&8x^2 + 8x + 2 \:;\\
C(x) &=&4x^2- 12x + 9 - 16.
\end{array}\]
\item Simplifier la fraction rationnelle

\[\dfrac{B(x)}{C(x)} = \dfrac{8x^2 + 8x + 2}{4x^2- 12x  - 7}.\]

\item Résoudre l'équation 
\[\dfrac{2(2x + 1)}{2x - 7} = 1.\]
\item Résoudre l'équation
\[\dfrac{2(2x + 1)}{2x - 7} =x - 7.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC rectangle en A, dans lequel l'angle $\hat{\text{C}}$ est égal à $30\degres$.

On pose BC $= 2 a$.

On trace le cercle de diamètre [AC]. On désigne par O son centre et par D son deuxième point d'intersection avec (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en. fonction de $a$, la longueur des segments [AB], [AC], [BD] et [OC].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item De O on mène la perpendiculaire à (BC).

Elle coupe le petit arc $\wideparen{\text{OC}}$ du cercle (O) en E.

Que représente [AE) pour le triangle ADC ?
		\item De O on mène la perpendiculaire au côté [AC].

Elle coupe le petit arc $\wideparen{\text{DC}}$ du cercle (O) en F.

Que représente [AF) pour le triangle ABC ?
		\item En déduire la valeur des angles du triangle AFE.
\end{enumerate}
\item Calculer la longueur des  côtés [AE] et [AF] du triangle AFE.
\end{enumerate}
\end{document}