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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont-Ferrand juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de trois facteurs du premier degré l'expression
\[A(x) = (2x - 3) (x - 1)^2 - 4(2x - 3).\]

Résoudre l'équation $A(x) = 0$.
\item Simplifier la fraction rationnelle
\[F(x) = \dfrac{(2x - 3) (x - 1)^2 - 4(2x - 3)}{(x + 1)^2 (x - 3)}\]

On désigne par $F'(x)$ la fraction obtenue.
\item Construire, sur un même graphique, les courbes représentatives des deux fonctions
\begin{center}$y_1 = 2x - 3$\qquad  et \qquad $y_2 = x + 1$.\end{center}
\item Déterminer $x$ graphiquement pour que la fraction
$F'(x)$ soit égale à $1$.
\item Déterminer $x$ pour que la fraction $F'(x)$ soit égale à $\dfrac13$.

Montrer comment on peut vérifier le résultat sur le graphique.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un trapèze convexe rectangle ABCD, dans
lequel les bases sont [AB] et [CD] telles que AB $= a$, CD $= 2a$ et la hauteur [AD] telle que 
AD $= a\sqrt 2$. \:($a$ est une longueur donnée.)

[AC] et [BD] se coupent en I; la parallèle aux bases menée par I coupe (AD) en M et (BC) en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des triangles IAB et ICD ?

Évaluer numériquement les rapports
\[\dfrac{\text{IA}}{\text{IC}}, \quad \dfrac{\text{IB}}{\text{ID}}, \quad \dfrac{\text{IA}}{\text{AC}}, \quad \dfrac{\text{IB}}{\text{BD}}\]

Comparer les triangles AIM et ACD, puis les triangles BIN et CDB et calculer en fonction de $a$ la longueur des segments [IM] et [IN]
\item Calculer en fonction de $a$ la longueur des segments [BC], [AC], [IA], [IB].
\item Démontrer que les diagonales, [AC] et [BD], sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{document}