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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{juin 1967}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont-Ferrand juin 1967~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de deux facteurs l'expression
\[A(x) = (2x + 3)^2 - (x + 4)^2.\]
Développer et ordonner $A(x)$ et résoudre, en utilisant le calcul précédent, l'équation
\[3x^2 + 4x - 7 = 0.\]
\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré l'expression $B(x)  = x^3 - 2x^2 + x$, puis simplifier la fraction rationnelle $F(x)  = \dfrac{A(x) }{B(x)}$.

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $F(x)  = 0$ ?
\item Dans un système d'axes rectangulaires, dessiner les droites $D_1$ et $D_2$ qui représentent respectivement les fonctions $y = 3x + 7$ et $y = x - 1$.

Ces droites se coupent en M et coupent respectivement l'axe $y'\text{O}y$ en N et P.

Calculer les coordonnées des points M, N et P et celles du milieu, I, de [NP].
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC rectangle en A et dont les côtés de l'angle droit ont pour longueur,  AB $= 51$~mm, AC $= 72$~mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC.
\item On mène, par le milieu, M, de [BC], la perpendiculaire à l'hypoténuse, coupant (AC) en H et (BA) en E.

Montrer que les triangles EMB et CAB sont semblables.

Calculer EB et EM.
\item Démontrer que les quatre points E, A, M et C sont situés sur un même cercle, dont on précisera le centre, O, et dont on calculera le rayon.

Calculer BO.
\item Montrer que (BH) est perpendiculaire à (EC).
\end{enumerate}
\end{document}