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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand juin 1969}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé, représenter graphiquement les fonctions
\begin{center}$x\longmapsto y = 2x + 3$ \qquad et\qquad  $x \longmapsto y = x + 4$.\end{center}

Calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites représentatives.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Réduire le polynôme $A(x) = (2x + 3) (x - 5)$.
		\item Calculer sa valeur pour $x = \sqrt 3 - 1$.
		\item Factoriser $B(x) = \left(2x^2 - 7x - 15\right) + (2x + 3)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fraction
\[F(x) = \dfrac{(2x + 3)(x - 4)}{x^2 - 16}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Indiquer l'ensemble de définition de cette fraction.
		\item La simplifier.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation
\[\dfrac{2x +3}{x +4} = \dfrac23.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On considère un triangle ABC rectangle en C et tel que $\widearc{\text{CAB}} =30\degres$.

On pose AB $= 2a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $a$ la mesure de chacun des
segments [AC] et [BC].
\item Soit H le point du segment [AB] tel que AH $= \dfrac a2$.

La perpendiculaire en H à (AB) coupe la droite (CB) en D.

Comparer les triangles ACB et DHB.

En déduire que
\begin{center} BA $\cdot$ BH = BC  $\cdot$  BD.\end{center}
\item Le cercle de diamètre [AB] et de centre O coupe (DH) en E.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que (OE) est parallèle à (BD).
		\item (OE) coupe (AD) en M ; montrer que M est le milieu de [AD].
	\end{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère DCHA est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre.

Calculer en fonction de $a$ la puissance du point B par rapport à ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}