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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont-Ferrand juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère l'expression 
\[z = x^2 + 6x + 9 -(3x - 4)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre cette expression sous la forme d'une différence de deux carrés, puis sous la forme d'un produit de deux binômes du premier degré en $x$.

En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles on a $z = 0$.
\item Le plan étant rapporté à un repère orthogonal (O$x$, O$y$), construire
 les droites $\left(L_1\right)$ et $\left(L_2\right)$ représentatives des variations de chacune des fonctions
\begin{center}$y_1 = - 2x + 7$ \quad et\quad  $y_2 = 4x - 1$.\end{center}
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection, A, des droites $\left(L_1\right)$ et $\left(L_2\right)$.

Calculer la valeur de $z$ quand on y remplace $x$ par l'abscisse du point A.
\item Utiliser le graphique précédent pour indiquer, suivant les valeurs données à $x$, le signe de chacune des expressions $- 2x + 7$ et $4x - 1$.

En déduire l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles on a $z$ positif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$, de centre O, et le diamètre [CD] perpendiculaire à AB.

Sur la demi-droite [OC) on construit le point E tel que OE $= 2 R$ et sur la demi-droite [OD) on construit le point F tel que OF $= \dfrac R2$.

La droite (AE) recoupe le cercle en G et la droite (AF) recoupe le cercle en I.

On trace BG et BI.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles AOE et AGB sont semblables.

Calculer les mesures des segments [AF], [AE], [AG] et [GB].
\item Montrer que le quadrilatère OBIF est inscriptible dans un cercle que l'on précisera.

Calculer AI et BI.
\item Montrer que le quadrilatère AGBI est un rectangle.
\item Démontrer que (GD), qui coupe (AB) en K, est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AGB}}$ et montrer que 
\[\dfrac{\text{AK}}{\text{BK}} = \dfrac12.\]
\end{enumerate}
\end{document}