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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont-Ferrand juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser (mettre sous forme d'un produit de deux polynômes du premier degré) le polynôme
\[P(x) = (3x^2 - 9x) + x^2 - 9.\]
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation d'inconnue $x$
\[P(x) = 0.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$, dans laquelle le réel $x$ a pour image
\[f(x) = - 2x +5.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(- 3), \:f\left(\dfrac53\right)$ \quad et $f\left(\sqrt 3 - \sqrt 2\right)$.
\item Sachant que
$1,41< \sqrt 2 < 1,42$ et $1,73 < \sqrt 3 < 1,74,$
trouver un encadrement des réels
\begin{center}$2\sqrt 2, \quad- 2\sqrt 3$ \quad et \quad $c=- 2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 + 5$.\end{center}

En déduire la valeur approchée de $c$ à 0,1 près  par
défaut.
\item Calculer le réel $x_0$ tel que $f\left(x_0\right) = 6$.
\item Montrer que les réels $f\left(2\sqrt 2 - 5\right)$ et $f\left(2\sqrt 2\right) - f(5)$ sont égaux.

D'une façon plus générale, montrer que, quels que soient les réels $a$ et $b$ les réels $f(2a - b)$ et $2f(a) - f(b)$ sont égaux.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit un plan $(P)$ rapporté à un repère orthonormé \Oij.

On considère l'application $F$ de $(P)$ dans $(P)$, dans laquelle le point M de coordonnées $(x~;~y)$ a pour image le point $M'$ de coordonnées $\left(x'~;~y'\right)$ telles que

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x' &=& x - 3\\
y'&=&y - 4.
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver les coordonnées de A$'$ et de B$'$, images
respectives par $F$ des points A(2~;~3) et B(0~;~5).
\item On considère les droites $(D)$ et $(D')$ ayant respectivement pour équation, par rapport au repère \Oij.
\begin{center} $x + y - 5 = 0$\quad et $x + y + 2 = 0$.\end{center}

Vérifier que A et B appartiennent à $(D)$ et que A$'$
et B$'$ appartiennent à $(D')$.

Tracer ces deux droites.
\item Démontrer que, quel que soit le point M de $(P)$, 
M$'$ désignant son image par $F$ le  vecteur $\vect{\text{MM}'}$ est
égal au vecteur $\vect{V}$ de  coordonnées (ou composantes) $(- 3~;- 4)$.

Que peut-on en conclure pour l'application $F$ ?

En déduire que l'image de la droite $(D)$ par l'application $F$ est la droite $(D')$.
\end{enumerate}
\end{document}