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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1985}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small juin 1985}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand juin 1985 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le réel $\dfrac{2 - 2\sqrt 2}{2 - \sqrt 2}$ sans radical au
dénominateur, et sous une forme aussi simple que possible.
\item Résoudre, dans $\R$

\[\sqrt 2(x - 1) + 2\sqrt 2 = 2(x - 1) + 3\sqrt 2.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ telle que

\[f(x) = (2x - 5)^2 - (6x - 15)(x - 7) + 4x^2 - 25.\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$.
\item Développer $f(x)$.
\item Calculer $f(- 21)$,\: $f(0)$,\: $f\left(-\dfrac13\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

On considère un repère orthonormé \Oij{}
et les points A. B, C définis par

\begin{center}A(1~;~3), \qquad B$(2~;~-1)$, \qquad C(6~;~0).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire la figure et la compléter au cours de l'exercice (on choisira le centimètre pour unité).
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances AB, BC et AC.
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\item Construire le point M tel que $\vect{\text{OM}} = \vect{\text{OA}} + \vect{\text{OC}}$.
\item Soit K le centre du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle ABC et D le symétrique de B par rapport à K.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point D.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
	\end{enumerate}
\item La tangente en A au cercle $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en E.

Déterminer une équation de cette tangente et les coordonnées du point E.
\item Les coordonnées de E sont $\left(- \dfrac45~;~0\right)$.

Calculer le cosinus  de l'angle $\widehat{\text{ACE}}$.

Sachant que $5,830 \leqslant  \sqrt{34} < 5,831$  donner une mesure à un degré près de $\widehat{\text{ACE}}$.

\textbf{N. B.} Extrait des tables trigonométriques :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
degré &$29\degres$&$30\degres$&$31\degres$&$32\degres$ \\ \hline
cosinus&\np{0,8746}&\np{0,8660}&\np{0,8571}&\np{0,8480}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}