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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible

\[A = \dfrac{\dfrac23 + \dfrac12}{3 - \dfrac25} \times \dfrac{\dfrac45 + \dfrac72}{\dfrac{43}{13}}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

Calculer et donner le résultat sous forme décimale

\[B =  \dfrac{0,8 \times 10^{-6} \times 1,5 \times \left(10^4\right)^2}{2 \times 10^3}\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip 

Écrire le plus simplement possible et donner le résultat sous la forme du produit d'un entier par une racine carrée

\[C = \sqrt{500} + 4\sqrt 5  - 2\sqrt{5}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

$a$ désignant un réel, écrire plus simplement : 

\[D = (a + 1)^2 - a^2.\]

en déduire la valeur de : $55^2 - 54^2$ ; puis celle de : $\np{512786}^2 - \np{512785}^2$.

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

$x$ désignant un réel, on considère l'expression 

\[E =(3x + 1)^2f + 2\left(9x^2 - 1\right)- (3x + 1)(5x + 3).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation :

\[4(3x + 1)(x - 1) = 0.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en A tel que BC $= 10$ et AB $= 6$ (l'unité choisie étant le cm).

Expliquer la construction.
\item Calculer AC.
\item Soit H le pied de la hauteur issue de A. Démontrer que AH $= 4,8$.
\item Calculer HC.
\item Soit O le milieu de [BC]. La perpendiculaire en O à (BC) coupe (AC) en M.

Calculer CM.
\item Calculer $\cos \widehat{\text{B}}$. En déduire la mesure en degrés de $\widehat{\text{B}}$ à 1 près par défaut.

On pourra utiliser les extraits de tables numériques et trigonométriques suivants :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{2cm}|p{2cm}|}\hline
$n$ &$n^2$\\ \hline
60 &\np{3600} \\ \hline
61 &\np{3721} \\ \hline
62 &\np{3844}\\ \hline
63 &\np{3969}\\ \hline
64 &\np{4096}\\ \hline
65 &\np{4225}\\ \hline
66 &\np{4356}\\ \hline
67 &\np{4489}\\ \hline
68 &\np{4624}\\ \hline
69 &\np{4761}\\ \hline
\end{tabular}

\medskip
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\np{0,5150}&\np{0,8572}&\np{0,6009}&\np{1,6643}&59\\
\np{0,5299} &\np{0,8480}&\np{0,6249}&\np{1,6003}&58\\
\np{0,5446} &\np{0,8387}&\np{0,6494}&\np{1,5399}&57\\
\np{0,5592} &\np{0,8290}&\np{0,6745}&\np{1,4826}&56\\
\np{0,5736} &\np{0,8192}&\np{0,7002}&\np{1,4281}&55\\
\np{0,5878} &\np{0,8090}&\np{0,7265}&\np{1,3764}& 54\\
\np{0,6018} &\np{0,7986}&\np{0,7536}&\np{1,3270}& 53\\
\np{0,6157} &\np{0,7880}&\np{0,7813}&\np{1,2799}&  52\\
\np{0,6293} &\np{0,7771}&\np{0,8098}&\np{1,2349}& 51\\
\np{0,6428}&\np{0,7660}&\np{0,8391}&\np{1,1918}&50\\
\np{0,6561} &\np{0,7547}&\np{0,8693}&\np{1,1504}&49\\
\np{0,6691} &\np{0,7431}&\np{0,9004}&\np{1,1106}& 48\\
\np{0,6820} &\np{0,7314}&\np{0,9325}&\np{1,0724}&47\\
\np{0,6947} &\np{0,7193}&\np{0,9657}&\np{1,0355}&46\\
\np{0,7071}&\np{0,7071}&\np{1,0000}&\np{1,0000}&45\\ \hline
Cosinus&Sinus&Cotangente&Tangente &Degrés\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}







\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Soit les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par

\begin{center} $f(x) = 4x$ \qquad et \qquad $g(x)= 2x + 4$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de chacune de ces
applications?
\item Sur une feuille de papier millimétré, tracer les
droites $D$ et $D'$ représentations graphiques respectives de 1et g dans un même repère orthonormé.
\item $D$ et $D'$ sont sécantes.

Trouver graphiquement les coordonnées de leur point d'intersection.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

$x$ désigne un réel positif.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit un carré de côté x (l'unité choisie est le
cm).

Exprimer le périmètre $p(x)$ de ce carré en fonction de $x$.
\item Soit un rectangle dont la largeur est $\dfrac x2$ et dont la longueur est $\dfrac x2 + 2$.

Exprimer le périmètre $p'(x)$ de ce rectangle en fonction de $x$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle valeur de $x$, le rectangle et le carré ont-ils même périmètre ?
		\item Pour quelles valeurs de $x$, le périmètre du rectangle est-il strictement supérieur à celui du carré ? 
		\item Vérifier les résultats trouvés à l'aide du graphique fait au I.
	\end{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'aire du rectangle est-elle strictement supérieure à celle du carré ?
\end{enumerate}
\end{document}