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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1987}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand  juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer

\[(-5) \times 1O^{-3}\times 7 \times 10^{12}\times 25\times 1O^{-9}\times 4\times  10\times (- 2)\times 10^{-6}\] 

Donner une écriture décimale du résultat.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer $\dfrac{2^2}{3^5} \times \dfrac{1}{2^3} \times \dfrac{3^4}{5}$.

Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Calculer 

\[\left(2\sqrt 5 - 3\right)\left(\sqrt 3 + \sqrt 5\right)- \left(\sqrt 3 + \sqrt 5\right)^2.\]

Le résultat sera exprimé avec des radicaux.

Ne pas donner de valeur approchée.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

$x$ étant un nombre réel, on considère l'expression 

\[A = 9 - x^2 + (x +3)(4x + 5)- 2(x + 3)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $1,5(x + 2) \geqslant 3(0,8x - 2)$.
		\item $5(x + 2) - 2x \geqslant 2(x + 4)$.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre dans $\R$ le système formé par les inéquations
a. et b.
\item Représenter sur une même droite graduée (0,5 cm pour une unité) l'ensemble des solutions de \textbf{a.}, de \textbf{b.}, et du système (on pourra utiliser trois couleurs différentes).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un triangle quelconque ABC.

M est le milieu de [AB) et N est le milieu de [AC].

Exprimer $\vect{\text{MA}}$ en fonction de $\vect{\text{BA}}$, puis $\vect{\text{AN}}$ en fonction de $\vect{\text{AC}}$.

En déduire une expression de $\vect{\text{MN}}$ en fonction de $\vect{\text{BC}}$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij, (1 cm pour une unité).

Placer les points A, B, M de coordonnées respectives A$(2~;~-1)$, B$(-3~;~2)$, M$(- 1~;~-3)$.

Soient $S_{\text{A}}$ la symétrie de centre A et $t_{\vect{\text{AB}}}$ la translation de
vecteur $\vect{\text{AB}}$.

On pose M$' = S_{\text{A}}$(M) et M$'' = t_{\vect{\text{AB}}}$(M).

Calculer les coordonnées de M$'$ et M$''$.

Placer les points M$'$ et M$''$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Tracer un segment [BC] tel que BC = 10, l'unité étant le centimètre.

Soit H le point de [BC] tel que BH $= 2$.

Sur la perpendiculaire en H à (BC), placer A tel que AH $= 4$.

Calculer AB puis AC.  Les résultats seront exprimés avec des radicaux.

Ne pas donner de valeur approchée.

Démontrer que le triangle BAC est rectangle en A.

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Construire un triangle ABC tel que AB $= 12$,\: BC $= 16$ et CA $= 8$, l'unité de longueur étant le centimètre (laisser les traits de construction).

\medskip

\begin{enumerate}
\item E est le point de [AB] tel que AE $= 9$.

La parallèle à (BC) menée par E coupe [AC] en F{}.

Calculer AF en expliquant la méthode utilisée.
\item Dans la suite du problème, le point E se déplace sur [AB) et on pose AE $= x$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner un encadrement de $x$.
		\item Calculer AF en fonction de $x$ (ne pas redonner la
justification de la méthode).
		\item En déduire FC et exprimer également EB en fonction
de $x$.
	\end{enumerate}
\item La parallèle à (AB) menée par F coupe [BC] en K.

Réaliser ce tracé sur la figure initiale.
	\begin{enumerate}
		\item On a toujours AE $= x$.
		
Calculer BK en fonction de $x$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère EFKB ?
		
En déduire EF.
		\item Soient $P_1$ le périmètre du triangle AEF et $P_2$ le périmètre du quadrilatère EFCB.
		
Montrer que $P_1 =3x$ et $P_2 = -\dfrac13 x + 36$.
		\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $P_1 = P_2$ ? 
		
Quelle est alors la valeur commune de $P_1$ et $P_2$ ?
	\end{enumerate}	
\item Dessiner dans un même repère orthogonal les représentations graphiques des applications $P_1$ et $P_2$ de $\R$ dans $\R$ définies par

\[P_1 =3x \qquad \text{et}\qquad P_2 = -\dfrac13 x + 36\]

en appliquant les consignes suivantes :
\begin{itemize}
\item l'axe des abscisses est pris sur la plus grande dimension
de la feuille de papier millimétré,
\item échelle en abscisses: 1 cm pour une unité,
\item échelle en ordonnées: $0,25$ cm pour une unité (soit $1$ cm
pour $4$ unités)
\end{itemize}.
\item Comment ce graphique permet-il de retrouver les résultats du 3. d.?
\end{enumerate}
\end{document}