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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small juin 1988}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'expression

\[A(x) = \dfrac{x + 2}{x - 4}\]

$x$ étant un réel différent de 4.

Calculer $A(x)$ pour $x = - 2$, puis pour $x = \dfrac23$.

(Donner les résultats sous forme d'entiers ou de fractions irréductibles)

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère, $x$ étant un réel, l'expression:

\[f(x) = 9x^2 - (2x - 3)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Sophie a dépensé la moitié de ses économies pour l'achat de livres.

Elle a en plus acheté des boucles d'oreilles qui valent $35$~F.

Il lui reste exactement $\dfrac13$ de ses économies.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En désignant par $x$ le montant en francs des économies de Sophie, traduire l'énoncé par une équation d'inconnue $x$.
\item Déterminer le montant des économies de Sophie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère trois points O, I, J tels que 

\[\widehat{\text{IOJ}} = 45\degres\:; \quad \text{OI} = 2\:; \quad \text{OJ} = 1\]

(L'unité est le centimètre.)

On pose : $\vect{\text{OI}} = \vect{\imath}$  et $\vect{\text{OJ}} = \vect{\jmath}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure, puis placer les points A, B, C, D tels que :

\[\vect{\text{OA}} = 3\vect{\imath}, \quad \vect{\text{OB}} = 5\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OC}} = 2\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OD}} = 5\vect{\imath} - 2\vect{\jmath}.\]

\item Exprimer $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{OC}}$ en fonction de $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$.

Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCD ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La salle de jeux d'une école maternelle est éclairée par un dôme en verre ayant la forme d'une pyramide régulière dont la base est un carré de centre H.

La hauteur [SH] de cette pyramide mesure $1,20$~m et le côté [AB] du carré de base ABCD mesure $1,80$~m.

Les quatre faces latérales, qui sont des triangles isocèles, sont en verre.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.6,5)
%\psgrid
\psline(3.7,4.5)(0.3,0.2)(4.5,0.2)(3.7,4.5)(7,3)(4.5,0.2)%SABSCB
\psline[linestyle=dashed](5.75,1.6)(3.65,1.6)(3.7,4.5)(2.8,3)(0.3,0.2)(7,3)(2.8,3)(4.5,0.2)%IHSDACDB
\psline(3.7,4.5)(5.75,1.6)%SI
\psline(5.9,1.72)(5.75,1.9)(5.66,1.78)
\psframe(3.65,1.6)(3.85,1.8)
\uput[dl](0.3,0.2){A} \uput[dr](4.5,0.2){B} \uput[r](7,3){C} \uput[ul](2.8,3){D}
\uput[dl](3.75,1.57){H} \uput[dr](5.75,1.6){I} \uput[u](3.7,4.5){S}
\end{pspicture}
\end{center}

On se propose de calculer le prix du verre nécessaire à la construction des quatre faces latérales de ce dôme. (On ne demande pas de refaire la figure.)

On note I le milieu de [BC]; la longueur du segment [HI] est donc la moitié de celle du segment [AB], soit $0,90$~m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur en mètres de la hauteur [SI] du triangle SBC. (On admettra que (SH) est perpendiculaire à (HI)).
\item Calculer l'aire en mètres carrés du triangle SBC.
\item Calculer le prix du verre utilisé sachant qu'un mètre carré
coûte $395$~francs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième Partie}

\medskip

Le gérant d'un groupe de salles de cinéma propose deux options :

\begin{itemize}
\item option A : le client paie $30$~F par séance;
\item option B : le client paie un abonnement annuel de $260$ F, puis $10$ F seulement par séance.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'option la plus avantageuse pour un client assistant à neuf séances par an ?(Justifier la réponse.)
\item On désigne par $x$ le nombre de séances auxquelles assiste un spectateur dans l'année, par $f(x)$ sa dépense annuelle en francs s'il a choisi l'option A et par $g(x)$ sa dépense annuelle en francs s'il a choisi l'option B. 

Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$.
\item Dans un repère orthogonal, on choisit les unités de la manière suivante :

\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses 1 cm pour $2$ unités.
\item sur l'axe des ordonnées 1 cm pour $50$ unités.
\end{itemize}

Tracer dans ce repère la droite $(D)$ d'équation $y = 30x$ et la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 10x + 260$.
\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

Vérifier graphiquement ce résultat.
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation 

\[10x +260 \leqslant 30x.\]

(On donnera l'ensemble des solutions sous la forme d'un
intervalle de $\R$)
\item Utiliser les résultats précédents pour déterminer l'option
la plus avantageuse pour un spectateur, suivant le nombre de séances auxquelles il assiste dans l'année.
\end{enumerate}
\end{document}