\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Brevet Clermont-Ferrand juin 1989},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small juin 1989}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $A = \dfrac23 - \dfrac52$ et \quad $B = \dfrac{1}{11} + 2$.

Calculer $A,\: B,\: AB,\: \dfrac{2 - A}{B}$. (On donnera chaque résultat en écriture fractionnaire.)
\item  Un restaurateur dispose de 180 carafes, les unes de contenance 50 centilitres, les autres de contenance 75 centilitres. 

Il lui faut 120 litres de Beaujolais pour remplir ces 180 carafes.

Trouver le nombre de carafes de $50$ cl et le nombre de carafes
de $75$ cl que le restaurateur possède.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Une société de transports propose deux tarifs:

\begin{itemize}
\item le tarif A : le voyageur paie $0,80$ F par kilomètre parcouru;
\item le tarif B : le voyageur achète une carte d'abonnement qu'il paie $100$ francs et il paie ensuite $0,40$ F par kilomètre parcouru.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le prix payé, en francs, par le voyageur, dans chacun des cas, pour un parcours de $200$ km.
\item On désigne par $x$ la distance parcourue en km, par $f(x)$ le prix payé, en francs, correspondant au tarif A, par $g(x)$ le prix payé, en francs, correspondant au tarif B.

Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$.
\item Représenter les droites (D) et $(\Delta)$ d'équations respectives

\[y = 0,8x \quad \text{et}\quad  y = 100 + 0,4x\]

dans un repère orthogonal, en choisissant :

\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses : 1 cm pour $50$ unités ;
\item sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour $20$ unités.
\end{itemize}

\item Utiliser le graphique de la question c. pour déterminer le tarif le plus avantageux pour le voyageur, suivant le nombre de kilomètres parcourus.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La mesure directe des distances est parfois difficile ou impossible. Par contre, certains appareils permettent la mesure des angles avec une grande précision.

On se propose de déterminer la largeur du lac représenté ci-après, entre le point M et le point P{}. L'appareil de mesure est placé en un point N et donne $\widehat{\text{MNP}} = 70\degres$ ; de plus, on a MN $= 500$ et NP $= 400$, l'unité de longueur étant le mètre.

On désigne par H le projeté orthogonal de M sur la droite (NP).

On ne demande pas de refaire la figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant $\sin \widehat{\text{MNP}}$ et $\cos \widehat{\text{MNP}}$, calculer les distances MH et NH. (Pour faire ces calculs, on prendra 0,94 comme valeur approchée de $\sin 70\degres$ et 0,34 comme valeur approchée de $\cos 70\degres$.)
\item En déduire la distance HP.
\item Calculer MP$^2$ puis MP (on donnera une valeur approchée 
entière par défaut de ce dernier résultat).
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,7.5)
%\psgrid
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(2.5,7.1)(7.8,3.2)
\psline(3.6,6.25)(1.08,3)(6.2,4.4)
\rput{-127}(3.6,6.3){\psframe(0.25,0.25)}
\pscurve[linecolor=blue](1.08,3)(2.4,4)(3.6,4.4)(4,4.7)(6.2,4.4)(6.4,1.6)(3.2,0.8)(2.8,2.2)(2.2,2.6)(1.8,2.2)(1.12,2.7)(1.08,3)
\psarc(2.5,7.1){0.5}{247}{321}\rput(2.6,6.3){$70\degres$}
\rput(4.4,2.6){Lac}
\uput[l](1.08,3){M} \uput[u](2.5,7.1){N} \uput[ur](3.6,6.25){H} \uput[ur](6.2,4.4){P}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

Construire un triangle BCD rectangle en B tel que BD $= 2$ et
BC $= 6$, l'unité étant le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer DC (on donnera une valeur exacte du résultat).
\item Placer sur la figure le point A symétrique du point D par rapport au point B, puis le point E symétrique du point C par rapport au point B.

Quelle est la nature du quadrilatère ACDE ? Justifier la réponse.
\item
	\begin{enumerate}
		\it Construire le point F tel que $\vect{\text{AF}} = \vect{\text{DC}}$. (On expliquera la construction.)
		
Quelle est la nature du quadrilatère AFCD?
		\item Démontrer que $\vect{\text{EA}} = \vect{\text{AF}}$ ; que représente le point A pour le segment [EF] ?
	\end{enumerate}
\item  Soit I le point d'intersection des droites (CF) et (DE).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que C est le milieu du segment [IF].
		\item Calculer IF et EF.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ECF.
\end{enumerate}
\end{document}