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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%%%%%%
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small juin 1990}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand juin 1990 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer

\[\sqrt{500} + 3\sqrt 5 - 3\sqrt{45}.\]

Donner le résultat sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ sont des entiers.
\item On donne deux nombres $A$ et $B$ :

\[A = 2 + \sqrt 6\: \quad \text{et}\quad  B = 1 - \sqrt 6.\]

Calculer $A^2 ; B^2 ; A \times B$.

Donner chaque résultat sous la forme $p + q\sqrt 6$, $p$ et $q$ étant des entiers positifs ou négatifs.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression 

\[E = (3x - 1)^2 - 9\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser cette expression.
\item Résoudre l'équation $E = 0$.
\item Calculer la valeur de $E$ pour $x = \dfrac16$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un rectangle ABCD tel que AB = 12 et AD = 9 (l'unité choisie est le centimètre).

\medskip

On place le point E sur le segment [AB] et le point M sur le egment [AD] tels que AB = 7,2 et AM = 5,4.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure.
\item Démontrer que les droites (EM) et (BD) sont parallèles.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité choisie est le centimètre. Soit un cube ABCDEFGH d'arête $8$. On place le point M sur le segment [AB] tel que AM $= 6$ et le point I sur la face ABFE tel que le triangle AIM soit rectangle en I, et MI $= 2$. (Ne pas refaire la figure donnée.)

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,7)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(4.2,4.2)%DHEA
\psline(4.2,0.2)(6.2,2.2)(6.2,6.2)(4.2,4.2)%HGFE
\psline(6.2,6.2)(2.2,6.2)(0.2,4.2)%FBA
\psline(0.2,4.2)(2.7,5)(3.2,4.2)%AIM
\psline(2.53,4.95)(2.63,4.73)(2.8,4.78)
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(2.2,2.2)(6.2,2.2)%DCG
\psline[linestyle=dashed](2.2,2.2)(2.2,6.2)%CB
\uput[l](0.2,4.2){A} \uput[ul](2.2,6.2){B} \uput[ul](2.2,2.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[r](4.2,4.2){E} \uput[ur](6.2,6.2){F} \uput[r](6.2,2.2){G} \uput[dr](4.2,0.2){H}
\uput[u](2.7,5){I} \uput[d](3.2,4.2){M}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item Représenter le carré ABFE en grandeur réelle, placer le point M ; construire le point I (laisser apparentes les lignes de construction).
\item Calculer AI (on donnera la valeur exacte de AI).
\item Calculer la valeur arrondie à $1\degres$ près de l'angle $\widehat{\text{IAM}}$.
\item Calculer l'aire du triangle IAM en cm$^2$, puis le volume de la pyramide de sommet D et de base le triangle IAM en cm$^3$ (on rappelle que l'angle $\widehat{\text{DAI}}$ est droit).

On donnera la valeur exacte de chaque résultat puis la valeur approchée arrondie au dixième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Un automobiliste se rend de Clermont-Ferrand à Paris en utilisant l'autoroute A 71. La distance de Clermont-Ferrand à Paris est $400$~km.

Le trajet de l'automobiliste est représenté par le graphique ci-après.

\begin{center}
\psset{unit=0.025cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-100,-40)(400,420)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=60,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(400,420)
\psset{labels=none,tickstyle=bottom}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=25](0,0)(0,0)(400,420)
\uput[l](-30,0){Clermont-Fd}
\uput[l](-30,400){Paris}
\uput[r](0,410){Distances (en km)}
\uput[u](330,0){Durée en minutes}
\uput[d](0,-20){14 h}\uput[d](60,-20){15 h}\uput[d](120,-20){16 h}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(90,150)(110,150)(140,200)(170,150)(180,150)(330,400)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,400)(330,400)(330,0)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,150)(90,150)(90,0)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,200)(140,200)(140,0)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](110,150)(110,0)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](180,0)(180,150)(0,150)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](170,0)(170,150)(0,150)
\end{pspicture}
\end{center}

En abscisse sont portées les durées calculées en minutes, à partir de 14 h, heure de départ de Clermont-Ferrand de l'automobiliste. 

En ordonnée sont portées les distances calculées en kilomètres,
entre l'automobiliste et Clermont-Ferrand.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En lisant sur le graphique, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la durée totale du voyage de Clermont-Ferrand à Paris ?
À quelle heure l'automobiliste arrive-t-il à Paris ?
		\item À quelle distance de Clermont-Ferrand l'automobiliste se trouve-t-il une heure et demie après son départ ?
		\item Combien d'arrêts a-t-il faits ?
		\item Quelle est la durée totale des arrêts ?
		\item Qu'a fait l'automobiliste entre 16~h~20~min et 16~h~50~min ?
	\end{enumerate}	
\item Un deuxième automobiliste part de Paris à 15 h pour se rendre à Clermont-Ferrand en empruntant lui aussi l'autoroute A 71. Il roule à $100$ km/h.

Au bout de deux heures et demie, il s'arrête pendant $30$~minutes. Puis il repart à la même vitesse jusqu'à Clermont-Ferrand sans s'arrêter.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le trajet Paris-Clermont-Ferrand de ce deuxième automobiliste sur le graphique ci-avant.
		
En abscisse sont toujours portées les durées calculées en minutes à partir de $14$~h.

En ordonnée sont portées les distances calculées en kilomètres, entre ce deuxième automobiliste et Clermont-Ferrand.
		\item Trouver, à partir du graphique, une valeur approchée de l'heure de croisement des deux automobilistes, ainsi qu'une valeur approchée de la distance du lieu de croisement à Clermont-Ferrand.
		\item Calculer la vitesse moyenne du deuxième automobiliste, en km/h, arrondie à une unité près, sur la totalité du trajet, arrêt inclus.
		\end{enumerate}	
\item  Placer, sur le graphique précédent, les points A, B, C, D définis par

\begin{center}A(180~;~150) ; B(330~;~400) ; C(60~;~400) ; D(210~;~150).\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (AB).
		\item On admet qu'une équation de la droite (CD) est

\[y  = - \dfrac53 x + 500.\]

Calculer les coordonnées du point commun I des droites (AB) et (CD).
		\item Que représente l'abscisse obtenue ? l'ordonnée obtenue?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}