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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère deux nombres $A$ et $B$ :

\[A = \dfrac25 - \dfrac57 + 1\quad \text{et}\quad B = \left(\dfrac34 - \dfrac13\right) : \left(\dfrac23 - \dfrac32\right)\]

Calculer $A$ et $B$ (donner chaque résultat sous la forme d'une fraction).

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit le nombre $C ==7\sqrt{10}\sqrt{\dfrac{12}{5}}$.

Mettre $C$ sous la forme $a \sqrt b$ ($a$ et $b$ étant des nombres entiers et $b$ le plus petit possible).

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

 Une enquête faite auprès des 24 élèves d'une classe de 6\up{e} portait sur la durée du trajet nécessaire à chacun pour se rendre au collège.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{ >{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée du trajet en minutes $d$&Nombre d'élèves\\ \hline
$0 \leqslant~d < 10$&5\\ \hline
$10 \leqslant d < 20$ &6\\ \hline
$20 \leqslant d < 30$ &9\\ \hline
$30 \leqslant d < 40$&4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur une feuille de papier millimétré, représenter cette situation par un histogramme (c'est-à-dire un diagramme en barres).

On prendra : 1 cm pour 5 minutes et

\phantom{On prendra : }1 cm pour 1 élève.
\item Pour combien d'élèves le trajet a-t-il une durée strictement inférieure à $20$~minutes ?
\item Calculer le pourcentage d'élèves dont le trajet a une durée strictement inférieure à $30$~minutes?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le point M appartient au segment [AB] et le point P appartient au segment [AC].

Les droites (MP) et (BC) sont parallèles et l'on a, en cm : 

AM $= 5$ ; AP $= 2$ ; MP $= 3$ ; AC $= 8$.

Calculer, en cm, le périmètre du triangle ABC. 

(Justifier tous les calculs - Ne pas refaire la figure.)


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4.4)
\pspolygon(0.2,0.2)(7.8,3.9)(4.2,0.2)%ABC
\uput[d](0.2,0.2){A} \uput[ur](7.8,3.9){B} \uput[d](4.2,0.2){C}
\psline(1.2,0.2)(2.1,1.12)%PM
\uput[d](1.2,0.2){P}\uput[ul](2.1,1.12){M}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

(La figure sera faite sur une feuille de papier millimétré).

Le plan est muni d'un repère orthonormal où l'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la droite $(d)$ d'équation $y = 0,5x - 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit A le point de $(d)$ d'abscisse $4$. Calculer l'ordonnée de
A.
		\item Tracer la droite $(d)$.
	\end{enumerate}	
\item Trouver l'équation de la droite perpendiculaire à $(d)$
passant par A.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que AB $= 3$ \:;\:$\widehat{\text{BAC}} = 60\degres$ ;
$\widehat{\text{ABC}} = 90\degres$.
\item Le cercle de centre A et de rayon AB coupe le segment [AC] en H.

On considère la rotation de centre A et d'angle $60\degres$ transformant B en H.

Construire, en couleurs, l'image du triangle ABC par cette rotation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\emph{Dans tout le problème, l'unité de longueur est le centimètre}

\medskip

\textbf{Partie I.}

\medskip

On considère un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [DC] et de centre O ; I est un point du segment [DC] ; la perpendiculaire en I à la droite (DC) coupe le cercle $\mathcal{C}$ en A et B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle BCD ? (Justifier la réponse.)
\item Dans toute la suite du problème, on a IC $= 2$ et IB = 4. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la figure en vraie grandeur, (on commencera
par la construction du triangle ICB).
		\item Calculer BC$^2$
	\end{enumerate}	
\item Exprimer $\cos \text{C}$ dans le triangle BCD, puis dans le triangle BCI ; en déduire l'égalité BC$^2 = \text{CI}  \cdot \text{CD}$.
\item En utilisant l'égalité précédente, calculer CD puis le rayon du cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II.}

\medskip

On considère maintenant la sphère pleine (encore appelée boule) de centre O et de rayon OC, donc de grand cercle $\mathcal{C}$. On coupe cette sphère par le plan passant par I perpendiculaire à la droite (DC).

La partie inférieure de la sphère ainsi obtenue est une calotte sphérique de hauteur IC ; elle constitue la partie plombée d'un jouet d'enfant appelé \og culbuto \fg.

Les données numériques sont celles de la partie I. du problème. (Ne pas refaire la figure.) 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.8)(3.5,3.5)
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){3.4}
\psellipticarc(0,-2.1)(2.63,0.6){180}{360}
\psellipticarc(0,-2.1)(2.63,0.6){0}{180}
\psline(-2.7,-2.1)(2.7,-2.1)
\psline[linestyle=dashed](0,-3.4)(0,3.4)
\psdots(0,0)
\uput[l](-2.63,-2.1){A} \uput[r](2.63,-2.1){B} \uput[d](0,-3.4){C}
\uput[u](0,3.4){D} \uput[ul](0,-2.1){I} \uput[r](0,0){O}
\psarc(0,0){3.4}{220}{320}
\psframe(0,-2.1)(0.2,-2.3)
\uput[ur](3.4;70){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la section de la sphère par le plan
passant par I perpendiculaire à la droite (DC) ?
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire de cette section, (on donnera la
valeur exacte du résultat en fonction de $\pi$).
	\end{enumerate}
\item  Le volume $V$ d'une calotte sphérique est donné par la formule 

\[V = \dfrac{\pi h^2}{3}(3R - h)\]

où $R$ est le rayon de la sphère et $h$ la hauteur de la calotte sphérique.

Calculer, en cm$^3$, le volume de la calotte sphérique de hauteur IC (on donnera la valeur exacte du résultat en fonction de $\pi$).
\item  Le jouet complet est constitué de la calotte sphérique de hauteur IC surmontée du cône de sommet D ayant pour base le disque de diamètre [AB].
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la hauteur du cône.
		\item Calculer, en cm$^3$, le volume total $V'$ du jouet (on donnera la valeur exacte en fonction de $\pi$ puis une valeur approchée arrondie à l'unité).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}