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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{juin 1993}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet Clermont--Ferrand
 juin 1993 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ est un entier relatif et $b$ l'entier le plus petit possible:

\[\begin{array}{l c l}
A &=& 3\sqrt{20} - \sqrt 5 + \sqrt{45}\\
B&=&\left(\sqrt 2 - 2\right)\left(\sqrt 2 + 3\right)
\end{array}\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Développer, puis réduire l'expression:

\[F(x) = (3x + 5)^2- (2x - 3)(2x +3).\]

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Factoriser l'expression $G(x) = 9x^2 - 6x + 1$.

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans un magasin de jouets, on a établi un bilan après la vente de \np{1000}~voitures de collection.

Le tableau ci-dessous donne la répartition de ces voitures suivant leur marque.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Marque 						&A	&B	&C	&D	&E\\ \hline
Nombre de voitures vendues	&320&160&100&240&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de voitures vendues de la marque E.
\item Traduire le tableau par un diagramme semi-circulaire de $10$ cm de
diamètre.

On fera figurer sur la copie les calculs des angles au centre associés
à chaque marque, (Les résultats seront arrondis au degré.)
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J), d'unité le centimètre,
$(D)$ est la droite d'équation y = ~x + 3.

\begin{enumerate}
\item $(D)$ coupe l'axe des abscisses en A et l'axe des ordonnées en B.

-Calculer les coordonnées de ces deux points.

Tracer $(D)$. (Utiliser une feuille de papier millimétré.)
\item Placer le point C$(- 2~;~4)$ sur la figure.

Déterminer l'équation de la droite (OC).
\item Que représente la droite (OC) pour le triangle ABD ? Justifier votre
réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On se propose de calculer le volume d'un seau qui a la forme d'un tronc de cône (voir schéma ci-après).
(Ne pas refaire la figure.)

Soit $(\mathcal{C})$ le cône de révolution de sommet S et de base le cercle de centre O et de rayon OA.

Le point O$'$ est le milieu de [SO].

Le seau est le tronc de cône délimité par la base de $(\mathcal{C})$ et l'intersection de $(\mathcal{C})$ avec le plan passant par O$'$ et parallèle à la base de $(\mathcal{C})$.

L'unité de longueur est le centimètre.

On a SO $= 36$ et DA $= 20$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-4.2,-7)(4.2,0.9)
%\psgrid
\psellipse(0,0)(4.2,0.9)
\psellipticarc(0,-3.5)(2.07,0.55){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-3.5)(2.07,0.55){0}{180}
\psline(-2.07,-3.5)(-4.2,0)
\psline(2.07,-3.5)(4.2,0)
\psline[linestyle=dashed](4.2,0)(0,0)(0,-7)
\psline[linestyle=dashed](2.07,-3.5)(0,-7)(-2.07,-3.5)
\uput[u](0,0){O} \uput[r](4.2,0){A} \uput[d](0,-7){S} \uput[ur](0,-3.5){O$'$} \uput[r](2.07,-3.5){A$'$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le rayon O$'$A$'$ du fond du seau.

Calculer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire du fond du seau.
\item Calculer les valeurs exactes en cm$^2$ du volume du cône $(\mathcal{C})$ et du volume du seau.

Donner la valeur approchée, arrondie à l'unité, du volume du seau en litres.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Soit $(\mathcal{C})$ un cercle de centre O, de rayon 5 cm et de diamètre [AB].

Soit M un point de $(\mathcal{C})$ tel que $\widehat{\text{AOM}} =6Q\degres$.

La tangente en M au cercle $(\mathcal{C})$ coupe la droite (AB) en T.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Démontrer que le triangle MTO est rectangle.
\item Calculer les valeurs exactes de OT et de TM. (On pourra utiliser les valeurs exactes suivantes :

\[\begin{array}{l c l c l}
\sin 30\degres &=& \cos 60\degres 		&=&\dfrac12 \,;\\
\sin 60\degres &=&\cos 30\degres		&=&\dfrac{\sqrt 3}{2}\,;\\
\tan 30\degres &=&\dfrac{\sqrt 3}{3} ; 	&\tan 60\degres&= \sqrt 3)
\end{array}\]

\item Quelle est la nature du triangle OMA ? (Justifier). Préciser la valeur de MA.
\item Construire sur la figure faite au 1. le point D tel que $\vect{\text{OD}} = \vect{\text{MA}}$.

Pourquoi le point D est-il sur le cercle $(\mathcal{C})$ ?
\item Démontrer que le quadrilatère AMOD est un losange.
\item Quel est le symétrique de M par rapport à la droite (OT) ?

Déterminer la nature du triangle TOD.

Que représente la droite (TD) pour le cercle $(\mathcal{C})$ ?

Justifier les réponses.
\end{enumerate}
\end{document}