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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand juin 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\bigskip

{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}
\medskip

On donne l'expression
\[A(x) = (3x - 2)^2 - 18x^2 + 8 + (6x - 4) (x + 4).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Développer $A(x)$ et calculer sa valeur numérique
pour $x = - 1$.
\item Mettre $A(x)$ sous la forme d'un produit de deux
facteurs du premier degré.
\item Résoudre l'équation $A(x) = 0$.
\item Représenter graphiquement les fonctions
\[y = 3x - 2 \qquad \text{et }\qquad y = - x + 2.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Un triangle ABC est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon $R$ ; la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ coupe (BC) en D et le cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point M est le milieu de l'arc $\wideparen{\text{BC}}$.
\item Démontrer que les triangles DMC, CMA, DBA sont semblables.

En déduire les relations

\begin{gather}
\text{MC}^2 = \text{MD} \times \text{MA},\\
\text{AB} \times \text{AC} = \text{AM} \times \text{AD}.
\end{gather}

\item De la relation (1) déduire la position de la droite
(MC) par rapport au cercle circonscrit au triangle ADC.
\item On suppose $R = \np[cm]{6}$  et (BC) à une distance du
centre O égale à \np[cm]{3}.

Quelles sont, dans ce cas la nature du triangle OCM et la longueur du segment [MC] ?
\end{enumerate}
\end{document}
