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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small juin 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les produits suivants :

\[\left(3 + 2\sqrt 2\right)\left(3 - 2\sqrt 2\right), \qquad \left(\sqrt 2 + 5\right)\left(3 - 2\sqrt 2\right).\]

\item Écrire le réel $\dfrac{\sqrt 2 + 5}{3 + 2\sqrt 2}$ sans radical au dénominateur et sous une forme aussi simple que possible.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation
\[3\left(x - \sqrt 2\right)  = 5 - 2\sqrt 2 (1 + x).\]
\item À partir de l'encadrement : $1414 < \sqrt 2 < 1,415$,trouver une valeur
approchée à $10^{- 2}$ près du réel $- 7\sqrt 2 + 11$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit les fonctions affines $f_1$ et $f_2$ de $\R$ dans $\R$,définies par :
\begin{center}$f_1(x) = - 3x + 9$\qquad  et \qquad $f_2(x) = - \dfrac13 x + \dfrac73$.\end{center}

$D_1$ et $D_2$ désignent leurs représentations graphiques respectives, dans un
plan P, muni d'un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer
	\begin{enumerate}
		\item l'ordonnée du point A de $D_2$ qui a pour abscisse $(-1)$.
		\item les coordonnées du point B, intersection de $D_1$ et de l'axe des abscisses;
		\item les coordonnées du point C, intersection de $D_1$ et $D_2$.
		\end{enumerate}
\item Construire $D_1$ et $D_2$ sur la feuille de papier millimétré.
\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle isocèle.

Construire le cercle circonscrit au triangle (A, B, C). 

On désignera son centre par E.
\item Soit D l'image de C dans la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$.

Démontrer que la droite CD est tangente en C au cercle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Soit un triangle A, B, C, rectangle en A, H la projection orthogonale de A sur la droite BC. 

On désigne par:

I et J les milieux respectifs des segments [BH] et [HC],

E le symétrique de A par rapport à I,

D le symétrique de A par rapport à J

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (B, C, D, E) est un parallélogramme.
\item Démontrer que les droites BC et CD sont orthogonales. Que peut-on en déduire pour (B, C, D, E) ?
\item Les droites AH et DE sont sécantes en K.

Démontrer que la droite BC est la médiatrice du segment [AK]
\item Démontrer que les droites BK et CK sont orthogonales.

\end{enumerate}
\end{document}