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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un triangle équilatéral ABC de $10$~cm de côté.

Deux points M et N sont variables sur le segment BC de façon que BM = NC, les points étant placés dans l'ordre B, M, N, C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose BM = NC $= x$, l'unité de longueur étant le centimètre.

Dans quel intervalle peut varier le nombre $x$ ?
\item On construit sur [MN], à l'intérieur du triangle ABC, le triangle équilatéral MNP.
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $y$ le périmètre, en cm, du triangle équilatéral MNP.
		
Montrer que $y = 30 - 6x$, le nombre $x$ variant dans l'intervalle défini à la question 1. le périmètre $y$ est-il une fonction croissante ou un fonction décroissante de $x$ ?

Représenter graphiquement cette fonction (en abscisse 1 cm représenter 1 cm et, en ordonnée, 1 cm représentera $5$~cm).
		\item On appelle $z$ le périmètre, en cm, du quadrilatère ABMP.
		
En admettant sans démonstration que AP $= x\sqrt 3$, montrer que 
\[z = x\left(\sqrt 3 - 1\right) + 20,\]
le nombre $x$ variant dans l'intervalle défini à la question 1. ; le périmètre $z$ est-il une fonction croissante ou une fonction décroissante de $x$ ?

Représenter graphiquement cette fonction sur les mêmes axes de coordonnées que pour la fonction précédente.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le triangle MNP et le quadrilatère ABMP ont des périmètre égaux ;
	\begin{enumerate}
		\item à l'aide du graphique (valeur décimale approchée),
		\item par le calcul (valeur exacte).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Étant donnés un angle $\widehat{\text{XOY}}$ et sa bissectrice [OZ) on prend sur la demi-droite [OZ) deux points A et B placés dans cet ordre à partir de O, de sorte que A est entre O et B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire (sans explication) la médiatrice de [AB] avec la règle et le compas.
\item On marque sur la partie de cette médiatrice qui est à l'intérieur de l'angle $\widehat{\text{XOZ}}$ un point quelconque C ; (BC) coupe (OX) en M ; (CA) coupe (OY) en N.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les angles $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{OAX}}$ sont égaux.
		\item Démontrer que les triangles OMB et ONA sont semblables.
	\end{enumerate}
\item On abaisse la perpendiculaire (AH) sur (OX) et la perpendiculaire (BK) sur (OY).
.    
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\dfrac{\text{ON}}{\text{OM}} = \dfrac{\text{OA}}{\text{BO}} = \dfrac{\text{AH}}{\text{BK}}$.
		\item Utiliser l'égalité de ces rapports pour démontrer que les triangles OMA et ONB ont des aires égales.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}