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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont-Ferrand septembre 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement le système
\[(1) \qquad \left\{\begin{array}{l c l}
y - \phantom{2}x + 1&=&0,\\
y - 2x + 4 &=&0.
\end{array}\right.\]

\item Vérifier par le calcul, en résolvant le système (1), les résultats obtenus graphiquement.
\item Déterminer $b$ de façon que l'équation $y = 3x + b$ représente une droite passant par le point de rencontre des deux premières droites.
\item Par le point ($x = - 1~;~y = 1)$, on mène la parallèle à la droite d'équation $y - 2x + 4 = 0$.

Former l'équation de cette parallèle.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On considère un triangle équilatéral ABC, dont le côté a pour longueur $3$~cm.

On prolonge le côté [AB] dans le sens de A vers B, au delà du point B, d'une longueur 

BD = AB, et le côté [BC], dans le sens de B vers C au delà du point C, d'une longueur CE = BC.

On trace :

les droites (DC) et (EA), qui se coupent au point I,

les segments [BI] et [DE].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les mesures, en degrés, des angles des triangles CAE, BDC, BAE et CAD ?

Démontrer que les triangles CAE, ICE sont semblables.
\item Calculer les longueurs des segments [AE] et [IE].
\item Démontrer que les triangles ABI, BDI, DIE ont des aires égales.

Calculer, en prenant comme unité d'aire le cm$^2$, l'aire du quadrilatère BDEI.
\end{enumerate}
\end{document}