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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand \:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre algébriquement, puis graphiquement, le système:

\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)\qquad & y -2x + 1&=& 0,\\
(2)\qquad & 2y + x - 8 &=& 0.
\end{array}\right.\]

\item Soient $\left(D_1\right)$ la droite d'équation (1), $\left(D_2\right)$ la droite d'équation (2). $\left(D_2\right)$ coupe $y'y$ en A.

Que peut-on dire des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ?

Former l'équation de la parallèle menée à $\left(D_1\right)$ par le point A.
\item Cette parallèle à $\left(D_1\right)$ coupe $x'x$ en B.

Soit M le milieu de [AB]. Former l'équation de la droite (OM).
\item Calculer OM et AB.

Vérifier que OM $= \dfrac{\text{AB}}{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Dans un demi-cercle $(\mathcal{C})$ de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$, on trace un rayon variable [OM].

La parallèle à (AB) menée par M recoupe le cercle en P.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le milieu I de [AM] décrit le demi-cercle $(\mathcal{C})$, de diamètre [AO].
\item La parallèle à (AB) menée par I recoupe (AP) en J.

Montrer que J appartient à $(\mathcal{C})$.
\item On suppose désormais $\widehat{\text{AOM}} = 120\degres$.
	\begin{enumerate}
		\item Nature du quadrilatère AOMP.
		\item On mène de P une tangente [PT) à $(\mathcal{C})$, qui coupe (AB) en U.
		
Évaluer en fonction de $R$, les longueurs PT et TU.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}