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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère les trois points
\begin{center}A(1~;~0),\quad B$(- 3~;~2)$ \quad et \quad C$(3~;~- 4)$. \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des trois côtés du triangle ABC.

Nature de ce triangle.
\item Former les équations des trois côtés du triangle ABC.
\item Soit M le milieu de [BC].

Former l'équation de la droite (AM).

Montrer algébriquement que dans un triangle isocèle la médiane issue du sommet principal est en même temps hauteur.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un carré ABCD et M un point quelconque du segment [AB].

On trace [MC], puis la perpendiculaire en C à (MC), qui coupe en N le prolongement de [AD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles BMC et DNC.

En déduire la nature du triangle MCN ?
\item Que peut-on dire de la surface du quadrilatère AMCN lorsque M se déplace entre A et B ?
\item Si AB = 4~cm et AM = 1~cm, calculer à 1 mm près le rayon du cercle circonscrit au triangle MCN. \item O étant le centre du cercle circonscrit au triangle MCN et M se déplaçant entre A et B, montrer que le cercle de centre O passe par deux points fixes de la figure et trouver le lieu géométrique du point O.
\end{enumerate}
\end{document}