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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Clermont-Ferrand }}
\rfoot{\small{juin 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'expression
\[A = (- 2x + 3)(- x - 2) - (3x - 2)(2x - 3) + (2x - 3)(4x - 1).\]

	\begin{enumerate}
		\item Mettre l'expression $A$ sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
		\item Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $A = 0$.
	\end{enumerate}
\item On considère les deux fonctions

\begin{center}$y = 2x - 3$\qquad et\qquad  $y = 2x +  3$.\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Construire par rapport aux mêmes axes de coordonnées O$x$ et O$y$ les graphiques de ces deux fonctions ; sur les deux axes de coordonnées l'unité sera représentée par $1$~cm.

Que peut-on dire des directions des deux droites obtenues ?
		\item Le graphique de $y = 2x - 3$ coupe O$x$ en A et O$y$ en B.
		
Le graphique de $y = 2x+3$ coupe O$x$ en C et O$y$ en D.

Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon  $R$ et un point A extérieur à ce cercle , tel que 

OA $= a$.

La droite (OA) coupe le cercle en B et C (B étant placé entre A et C).

De A, on mène la tangente [AT) au cercle $\mathcal{C}$ en T et, de T, on abaisse la perpendiculaire (TH) à (OA) ; le prolongement de [TH] coupe le cercle $\mathcal{C}$ en T$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que \begin{center}OH $\cdot$ OA $= R^2$.\end{center}
\item Calculer AT$'$ en fonction de $R$ et de $a$.
\item Montrer que les arcs $\widearc{\text{TB}}$ et $\widearc{\text{BT}'}$ sont égaux, que les droites (BT) et (CT) sont les bissectrices des angles formés par (TH) et (TA).
\item Par B, on mène la parallèle à (TC) qui coupe (TI$'$) en D et (TA) en E.

Montrer que le triangle DTE est isocèle.
\end{enumerate}
\end{document}