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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les racines carrées approchées de 6 à $0,01$ près par défaut et par excès.
		\item Montrer que 
\[\left(\sqrt 3 + \sqrt 2\right)^2 - \left(\sqrt 3 - \sqrt 2\right)^2 \]
s'exprime simplement en fonction de $\sqrt 6$.

Utiliser les résultats trouvés à la question précédente pour obtenir deux valeurs numériques approchées de cette expression, l'une par défaut, l'autre par excès.
	\end{enumerate}
\item Construire un triangle isocèle OAB :
\begin{center}OA = OB $= 6$~cm\quad ;\quad AB $= 8$~cm.\end{center}

On prend sur [OA] un point M entre O et A ; par M on mène la parallèle à (AB), qui coupe (OB) en N.

On pose OM $= x$ (en centimètres).

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que MN $= \dfrac{4x}{3}$.
		\item On appelle $y$ le périmètre du triangle OMN et $z$ celui du trapèze AMNB.


Montrer que $y = \dfrac{10x}{3}$ et que $z = - \dfrac{2x}{3} + 20$.
		\item Pour quelle valeur de $x$ ces périmètres sont-ils égaux?
		\item $y$ et $z$ sont deux fonctions de $x$ ; les représenter graphiquement sur les mêmes axes de coordonnées ; l'unité est représentée en abscisses par 1~cm et en
ordonnée par 0,5~cm.

Retrouver le résultat de la question c.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC, tel que AB $>$ AC, inscrit dans un cercle ($\mathcal{C}$) de centre O.

On appelle D le milieu de l'arc $\widearc{\text{BC}}$ qui ne contient pas le point A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On trace [AD).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que AD est la bissectrice de l'angle BAC.
		\item AD coupe BC en M. Démontrer que les triangles ABD et MBD sont semblables; repérer les sommets homologues (sans explications).
	\end{enumerate}
\item On trace la tangente en A au cercle ($\mathcal{C}$) ; elle coupe le prolongement de [BC] en P.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\widehat{\text{BMD}} = \widehat{\text{ABD}} = \widehat{\text{PAD}}$.
		\item Démontrer que le triangle PAM est isocèle.
		\item Démontrer que PM$^2 =$ PB $\cdot$ PC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}