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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont-Ferrand septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire les courbes $D_1$ et $D_2$ représentatives des fonctions suivantes:
\[D_1\quad  y_1= -2x + 6 \qquad   D_2\quad y_2 = \dfrac x2 - 4.\]

(On prendra comme unité le centimètre sur chaque axe.)
\item Calculer les coordonnées de leur point d'intersection, A.
\item $D_1$ coupe $y'y$ en B. $D_2$ coupe $y'y$ en C.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la médiane [AM] du triangle ABC.
		\item (AM) coupe $x'x$ en P.
		
Calculer les coordonnées du point P.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
		\item En déduire la longueur du segment [AM].
		\item Calculer la longueur du segment [MP].
		\item Que représente le point P pour le triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC dans lequel l'angle $\widehat{\text{B}}$ est le double de l'angle $\widehat{\text{C}}$.

La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{B}}$ coupe (AC) en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les deux triangles ABC et AIB sont semblables.

En déduire la relation 
\begin{center}AB$^2 =$ AC $\cdot$ AI.\end{center}

On oriente les droites (AB) et (AC) ; montrer que l'on a aussi 
\[\overline{\text{AB}}^2 = \text{AC} \cdot \text{AI}.\]

\item Quelle est la position relative de la droite (AB) et du cercle qui passe par les trois points B, I, C ?

Dans le cas particulier où $\widehat{\text{ACB}} = 30\degres$ calculer, en fonction de AB $= a$, le rayon du cercle qui passe par les points B, I, C.
\item On se place de nouveau dans le cas général.

La parallèle à (BI) menée par C coupe la droite (AB) au point O.

Quelle est la nature du triangle BCO ?

Montrer que la droite (AC) est tangente au cercle qui passe par les trois points B, C, O.
\end{enumerate}
\end{document}