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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{septembre 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand septembre 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne les expressions
\[\begin{array}{l c l}
E(x)&=&9(x - 2)^2 - 4(x + 1)^2,\\
F(x)&=&(5x - 10) (x - 3) - 3 \left(x^2 - 4\right).
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer $E(x)$ et $F(x)$ en produits de facteurs du premier degré.
\item Calculer et simplifier $E'(x)  = \dfrac{E(x)}{8}$ et $F'(x) = \dfrac{F(x)}{x - 2}$.

À quelles conditions les simplifications sont-elle valables ?
\item Calculer $E'(x) + F'(x)$.

On pose $y = 7x - 25$, dont la représentation graphique est une droite $(D)$, que l'on construira.
\item Donner les équations de la parallèle et de la perpendiculaire à $(D)$ menées par l'origine des coordonnées.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un cercle $(C)$ passant par deux points A et B.

La médiatrice de [AB] coupe la droite (AB) en O et le cercle $(C)$ en U et V.

On prend un point M quelconque sur $(C)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que [MU) et [MV) sont les bissectrices de l'angle $\widehat{\text{AMB}}$.
\item (MU) coupe la droite (AB) en T et (MV) la coupe en N.

Montrer que les triangles OWV et MNT sont semblables.
\item Sachant que ON $= 3$~cm, OV $= 4$~cm,OT $= 13$~cm, calculer NV et NT.

Déduire de la similitude précédente les longueurs des segments [NM] et [MT].
\end{enumerate}
\end{document}