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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme de produit de facteurs les expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (5x - 2)^2 - (3x + 6)^2,\:\text{et}\\
B(x) &=& (x - 4)(3x - 7) -(x - 4)^2- (4 - x)(6x -5).
\end{array}\]

\item Simplifier la fraction rationnelle, $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Soit $F(x)$ la fraction irréductible obtenue.

Pour quelle valeur de $x$ les fractions $F(x)$ et $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ ont-elles les mêmes valeurs numériques ?
\item Dans un repère orthonormé, tracer les représentatives des fonctions suivantes :
\begin{center}$y = 2x + 1$\quad et\quad $y = x - 1$.\end{center}

Calculer les coordonnées du point A, intersection des deux droites.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer
\[\left(x^2 + y^2\right)(x + y)(x - y).\]
\item Sachant que,
\begin{center}$x^4 - y^4 = \np{27265}$ \quad et \quad $x^2 - y^2 = 133$,\end{center} 

calculer $x^2 + y^2$, puis $x^2$ et $y^2$.

En déduire tous le couples $(x,~ y)$ de nombres réels qui sont solutions du système précédent.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un triangle ABC rectangle en A et tel que AB $= 80$~mm etAC $= 60~$mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de [BC].
\item Sur le côté [BA] on porte BD $= 60$~mm et sur le côté [BC] on porte BE $= 48$~mm.

Démontrer la similitude des triangles BDE et BCA.

En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{BED}}$ et la longueur du segment [DE].
\item De D on mène la parallèle à (AC).

Elle coupe BC en F.

On prolonge [FD] d'une longueur DG $= 80$~mm.

Comparer les triangles BGD et ABC.

Montrer que GBF est un triangle rectangle ; en déduire la longueur du segment [DF].
\item Montrer que le quadrilatère DACE est inscriplible dans un cercle, dont on calculera la longueur du rayon.
\end{enumerate}










\end{document}