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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont--Ferrand septembre 1972~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

 On donne
 \[\begin{array}{l c l}
A&=&(10 - 5x)\left(1 - x^2\right), \: \text{et}\\
B&=&(2 - x)\left(x^2 + 2x + 1\right).
\end{array}\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer $A$ en un produit de facteurs du premier degré, puis $B$.
\item A quelles conditions la fraction $E = \dfrac{A}{B}$ est-elle simplifiable ?

Soit $E'$ l'expression simplifiée.
\item  Pour quelle valeur de $x$ obtient-on $E' = 1$ ?
\item Si $x = \sqrt 5$, calculer $E'$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan étant rapporté à un repère orthonormé $(x'\text{O}x, y'\text{O}y)$, dans lequel les vecteurs unitaires ont pour longueur 1 centimètre, tracer la droite 
$\left(D_1\right)$ d'équation $y = - 5x + 5$.
\item Quelle est l'équation de la droite qui passe par les points A$(x = 0,~y=1)$ et B$(x = 5,~y = 6)$ ?
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection, M,
de $\left(D_1\right)$  et de (AB).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un demi-cercle de diamètre AB $= 15$, P le point de [AB] tel que AP $= 12$ et M le point du demi-cercle tel que AM $= 9$.

La perpendiculaire en P à (AB) coupe (AM) en C et (BM) en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les quatre points C, M, P et B appartiennent à un mème cercle, dont on précisera le diamètre.
\item Établir la relation
\begin{center} AM $\times$ AC = AP $\times$ AB.\end{center}
\item Montrer que (AD) est perpendiculaire à (BC).
\item Calculer les mesures des segments [MB], [AC] et [PC].
\item Donner les valeurs respectives du sinus, du cosinus et de la tangente de l'angle $\widehat{\text{ABM}}$.
\end{enumerate}
\end{document}