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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont-Ferrand septembre 1973~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

On considère l'application $f$, de $\R \times \R$ dans $\R$ par
laquelle le couple $(x~;~y)$ a pour image

\[f(x~;~y) = 4x - 5y + 1.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(6~;~5),\:f\left(-\dfrac25~;~~\dfrac14\right)$ et $f\left(\dfrac{1}{1 - \sqrt 2}~;~- 2\right)$.

(On donnera le dernier résultat sans utiliser le symbole $\sqrt{~}$ au dénominateur.)
\item On donne l'encadrement $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$.

En déduire un encadrement du réel $a = - 4\sqrt 2 + 7$, 
puis les valeurs approchées de $a$ à $0,01$ près.
\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système d'équations,
d'inconnue $(x~;~y)$
\[\left\{\begin{array}{l c l}
4x- 5y + 1 &=& 0,\\
3x + 2y + 18 &=& 0.
\end{array}\right.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

Soit $g$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie de la façon suivante :
\[\left\{\begin{array}{l c l l}
g(x) &=& 2x + 1,& \text{si}\: x \leqslant 1,\\
g(x) &=& x + 2&\text{si}\: x > 1
\end{array}\right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement la fonction $g$ (affine par intervalles) par rapport à un repère du plan que l'on pourra choisir orthonormé.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation d'inconnue $x$ suivante : 
\[g(x) = 0.\]

Montrer comment le graphique précédent permet de contrôler ce résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan $(P)$ rapporté à un repère orthonormé \Oij{} placer les points 
\begin{center}A$(-1~;~- 1)$, \quad B(1~;~- 2),\quad  C(3~;~2) \quad et D milieu de (A, C).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item On considère le point G défini par la relation
\[\vect{\text{GA}} + \vect{\text{GB}} + \vect{\text{GC}} = \vect{0},\]

($\vect{0}$ désignant le vecteur nul, élément neutre de l'addition des vecteurs).

$\left(x_{\text{G}}~;~y_{\text{G}}\right)$ désignant le couple de coordonnées de G, exprimer, en fonction de $x_{\text{G}}$ et de $y_{\text{G}}$ les coordonnées
 (composantes) des vecteurs $\vect{\text{GA}},\: \vect{\text{GB}}, \: \vect{\text{GC}}$ et $\vect{\text{GA}} + \vect{\text{GB}} + \vect{\text{GC}}$.

En déduire la valeur des réels $x_{\text{G}}$ et  $y_{\text{G}}$.
\item Déterminer de la même façon les coordonnées du point K défini par la relation
\[\vect{\text{KA}} - \vect{\text{KB}} + \vect{\text{KC}} = \vect{0}.\]

\item Démontrer que les points B, G, K et D sont alignés.
\item Démontrer que D est le milieu de (B, K) ; en déduire que (A, B, C, K) est un rectangle.
\end{enumerate}
\end{document}