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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont--Ferrand septembre 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$ définies dans $\R$ par, respectivement,
\[\begin{array}{l c l}
f : x \longmapsto f(x)&=&(3x + 1)(3x - 2) + 9x^2 - 1\\
g : x \longmapsto g(x)&=& (4x + 5)^2 - (2x-3)^2
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme d'un produit de polynômes du premier degré.
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Calculer les images par $f$ puis par $g$ des réels suivants : $0$,\: $- 1$.
\item Soit la fonction rationnelle $h$ définie par 
\[h : x \longmapsto h(x) = \dfrac{3(3x + 1)(2x - 1)}{4(3x + 1)(x + 4)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est le domaine de définition $E$ (ou d'existence) de $h$ ?
		\item Pour $x$ élément de $E$, simplifier $h(x)$.
		
On obtient alors une nouvelle expression que l'on notera $h'(x)$.
		\item Calculer $h'\left(\sqrt{10}\right)$ et exprimer ce nombre réel sous forme d'un quotient dont le dénominateur est un rationnel.
		\item Donner une valeur approchée de $h'\left(\sqrt{10}\right)$ à $0,01$ près défaut sachant que $3,16< \sqrt{10} < 3,17$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

$\left(\omega,~\vect{\imath},\: \vect{\jmath}\right)$ étant un repère orthonormé du plan, placer les points A, B, D définis par leurs coordonnées 
\begin{center}A(2~;~-1), \qquad B (-1~;~2),\qquad D (7~;~1).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que C (4~;~4) est le transformé de B par la translation de vecteur $\vect{\text{AD}}$.
\item Démontrer que (A, B, C, D) est un parallélogramme.

Quel sont les coordonnées de son centre K ?
\item Calculer les coordonnées du milieu M de [DC].

En déduire les coordonnées du point E sachant que M est le milieu de [AE].

Que peut-on dire de la nature du quadrilatère (A, D, E, C) ?
\item Démontrer que le triangle (C, M, A) est rectangle en M.

En déduire que (A, D, E, C) est un losange.

\item Démontrer que les points (B, C, E) sont alignés et 
que $\vect{\text{AD}} = dfrac12 \vect{\text{BE}}$.
\end{enumerate}
\end{document}