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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Clermont}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

Une entreprise veut embaucher un rédacteur.

La direction décide les choix suivants :

\begin{itemize}
\item Elle attribuera deux notes de 0 à 20 à chaque candidat:
\begin{description}
\item[ ] une pour la présentation, soit $x$
\item[ ] une pour les connaissances générales, soit $y$
\end{description}
\item La note de \og présentation\fg, $x$, doit être supérieure ou égale à 10.
\item La note de \og connaissances générales \fg, $y$, doit être supérieure strictement à 8 et inférieure ou égale à $16$.
\item La somme des deux notes $x$ et $y$ devra et re supérieure ou égale à $22$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire en utilisant les symboles $<, \leqslant,\:>,\:.\geqslant$ le système de conditions imposées par le directeur.
		\item Le plan $P$ étant rapporté à un repère \Oij, construire les droites
\begin{center}
\begin{tabular}{l l l}
$D_1$& d'équation& $x = 10$\\
$D_2$& d'équation& $y = 8$\\
$D_3$& d'équation& $x+y = 22$\\
$D_4$& d'équation& $x = 20$
\end{tabular}
\end{center}

Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites $D_4$ et $D_1$, ainsi que celles du point d'intersection des droites $D_4$ et $D_2$·
		\item À tout couple de notes on associe le point M qui dans $P$ a pour coordonnées $(x~;~y)$.
		
Ln utilisant les résultats de b. interpréter graphiquement le système de conditions imposées par la direction.

Hachurer les parties du plan P ne convenant pas.
	\end{enumerate}
\item Il y a cinq candidatures. Les résultats sont les suivants:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&François 	&Simon 	&Georges 	&Jacques 	&Michel\\ \hline
$x$						&13 		&15		&12		&14	&9\\ \hline
$y$						&17		&15		&9		&8		&15\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Placer sur le graphique les points F{}, S, G, J, M dont les coordonnées $(x~;~y)$ représentent respectivement les résultats de François, Simon, Georges, Jacques
et Michel.

Puis à l'aide de ce graphique conclure : quel est le candidat qui sera retenu 
?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

Tracer un carré (A, B, C, D) de 6~cm de côté (on rappelle que l'on rencontre les sommets (A, B, C, D) dans cet ordre lorsqu'on parcourt le contour
du carré).

Marquer le point E, milieu de [CD] et tracer la droite (AE).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance, en cm, de A à E, que l'on notera AE.

On donnera la valeur exacte de AE sous la forme $a\sqrt 5$ ($a$ étant un naturel) et une valeur approchée à un mm près.
\item Soit F la projection orthogonale de D sur (AE).

Montrer par un calcul que EF $= \dfrac{3}{\sqrt 5}$ (EF désignant la distance en cm de E à F).

(On pourra utiliser, soit des rapports de projection orthogonale, soit la trigonométrie, soit une autre méthode connue par le candidat).

Calculer la valeur exacte de DF et vérifier que DF $= 2$EF.
\item Soit G la projection orthogonale de B sur (AE) et H l'image de G dans la translation de vecteur directeur $\vect{\text{AD}}$ \:($\vect{\text{GH}} = \vect{\text{AD}}$).

Démontrer que les trois droites (GB), (DF), (HC) appartiennent à la même direction.

(CH) coupe la droite (AC) en I.

Démontrer que (D, B, I ,F) est un rectangle.
\item Démontrer que E est le milieu de [FI].

En déduire que (D, H, I, F) est un carré et que $d$(D, F) = $d$(A, G) (ou DF = AG).
\end{enumerate}
\end{document}