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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Clermont--Ferrand}
\lfoot{\small septembre 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont--Ferrand septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

$x$ désigne un réel quelconque.

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation 
\[\dfrac{x + 1}{2} = |x|.\]
\item Représenter, dans le plan muni d'un repère, les fonctions $f$ et $g$ définies par 
\begin{center}$f(x) = \dfrac{x + 1}{2}$\quad et \quad $g(x) = |x|$.\end{center}

(on envisagera séparément le cas où $x$ est positif et le cas où $x$ est négatif).

Expliquer comment ce graphique permet de vérifier les résultats de 1.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'origine O, on donne le point A(8~;~0), le point B$\left(2~;~2\sqrt 3\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point B appartient au cercle de centre O et de rayon 4.
\item Démontrer que la droite (AB) est tangente en B à ce cercle.
\item Calculer l'ordonnée du point C intersection de la droite (AB) et de l'axe des ordonnées (2\up{e} droite de projection).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dessiner un carré ABCD de 4~cm de côté.

Soit N le milieu du segment [CD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance BN.
\item Construire sur le prolongement du côté [DC], au-delà de C le point P tel que 

$d$(N,P) $= d$(N, B).

Calculer la distance DP{}, puis la tangente trigonométrique de l'angle $\widehat{\text{PAD}}$.

Montrer que cette tangente peut s'écrire : $\dfrac{1 + \sqrt 5}{2}$.
\item Sachant que : $2,236 < \sqrt 5 < 2,237$ , chercher la valeur approchée par
défaut, à un degré près, de l'angle $\widehat{\text{PAD}}$.
\item Construire le symétrique N$'$ du point N par rapport à la droite BP{}.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle figure particulière est BNPN$'$ ? (Justifier la réponse).
		\item Démontrer que N$'$ est aligné avec A et B.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\smallskip

\textbf{Remarque :} La question 4 ne dépend pas des résultats des calculs des questions 1., 2. et 3.

\medskip

\textbf{Extrait de tables :}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degré&57&58&59 &60 &61\\ \hline
Tangente&1,540&1,600&1,664&1,732&1,804\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}