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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Clermond-Ferrand}
\lfoot{\small septembre 1979}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Clermond-Ferrand septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

On considère les applications $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$,
définies par

\begin{center}$f(x)= 4 - 3x$\quad et \quad  $g(x) = 5x - 2$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quels sont les réels qui ont une image par la fonction rationnelle $h$ définie par
\[h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}.\]
\item Calculer $h(0)$ et $h(1)$.
\item Résoudre, dans li, les équations suivantes:
\[(1)\quad  g(x) + f(x) = 0\quad;\quad (2)\quad g(x) \times f(x) =0.\]

\item Résoudre, dans $\R$, chacune des deux inéquations:

\[(3)\quad 4 - 3x \geqslant 0\quad;\quad (4)\quad x - 2 > 0.\]

En déduire l'ensemble $S$ des solutions communes aux inéquations (3) et (4) (système d'inéquations).
\item Exprimer $h\left(\sqrt 3\right)$ sous la forme d'un quotient dont le dénominateur est un entier.

Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, trouver une valeur approchée, à $10^{-2}$ près (un centième près), de $h\left(\sqrt 3\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on donne les points A et B de coordonnées
respectives A(0~;~5) et B(5~;~0).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$ et déterminer la distance $d$(A, B).

Les points A et B appartiennent-ils à la droite
d'équation $y = - x + 5$ ?
\item On considère les points C$(10~;~-5)$ et D$(0~;~-5)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite (AB) passe par C.
		\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BD}}$ sont orthogonaux.
	\end{enumerate}
\item Le point E est le point de coordonnées $(-5~;~0)$.
	\begin{enumerate}
		\item Que peut-on dire des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{ED}}$ ? ; des distances $d$(A, B) et $d$(B, D) ?
		\item Utiliser méthodiquement les résultats obtenu dans les questions précédentes pour préciser la nature du quadruplet (A, B, D, E) (quadrilatère ABDE).
		\item Aurait-on pu trouver ce résultat sans calcul, à l'aide de propriétés de géométrie ? Comment ?
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les quatre points A, B, D et E appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et la mesure du rayon.

Démontrer que la droite (CD) est tangente à ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}