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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, définies par

\begin{center}$f(x) = (x - 1)(x - 3)$\qquad  et \qquad $g(x) = (2x + 3)^2_(x + 4)^2$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $f(x)$ sous une forme développée, réduite et ordonnée.
		\item Écrire $g(x)$ sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
	\end{enumerate}
\item Calculer $f(3),\:f\left(- \dfrac12\right),\:g(0)$ et $g\left(- \dfrac73\right)$.
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.

En déduire que $f$ n'est pas une bijection de $\R$ dans $\R$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$,
\[f(x) + 1=(x - 2)^2.\]

Utiliser ce résultat pour résoudre les équations:
\begin{center}$f(x) = -1$\qquad  et \qquad $f(x) = 8$.\end{center}
		\item Expliquer pourquoi l'inéquation $f(x) < - 1$ n'a
pas de solutions dans $\R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

L'unité de longueur choisie dans le plan est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un carré (A, B, C, D) de centre O dont les diagonales [AC] et [BD] mesurent 8cm.
		\item Construire à la règle et au compas la médiatrice du segment [AO] ; on la notera $\Delta$.
		
$\Delta$ coupe le cercle circonscrit au carré en deux points E et F (E est situé sur l'arc $\widearc{\text{AB}}$).

$\Delta$ coupe le segment [AO] en H.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle (A, E, O) ?
		\item Quelle est la nature du triangle (A, E, C) ?
		\item Quelle est la nature du triangle (A, E, F) ?
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadruplet (A, E, O, F)?
		\item Démontrer que
\begin{center}$d$(E,C) $= 4\sqrt 3$,\quad  $d$(E,H) $= 2 \sqrt 3$.\end{center}
		\item En déduire la nature du triangle (C, E, F).
	\end{enumerate}	
\item On considère le repère $\left(\text{O},~\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OA}}\right)$. 

Quelles sont, dans ce repère, les coordonnées des points A, B, C, H et E ?

Déterminer une équation de la droite (EC).
\end{enumerate}
\end{document}