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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small septembre 1986}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $x$ et $y$ vérifiant le système 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
4x + 2y &=& 16;\\
x - y&=&7.
\end{array}\right.\]

\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé (sur feuille
de papier millimétré) tracer

\begin{itemize}
\item la droite $D_1$ d'équation $y = -2x + 8$ ;
\item la droite $D_2$ d'équation $y = x - 7$.
\end{itemize}

Lire sur le graphique les coordonnées du point d'intersection A de $D_1$ et $D_2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction
irréductible :

\[E = \dfrac{1 - \dfrac{1}{1 + \dfrac13}}{1 + \dfrac{1}{1 - \dfrac13}}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$x$ désignant un réel, on considère l'expression :

\[E(x) = (x + 2)^2 - 2(3x - 1)(2 + x).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $E(- 2)$.
\item Développer et réduire $E(x)$.
\item Calculer $E\left(\sqrt 3 - 1\right)$.

(Une valeur approchée ne sera pas acceptée comme résultat.) 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABCD est un carré dont les diagonales se coupent en O. 

M est le milieu de [AO] et N celui de [OC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que O est le milieu de [MN] et que DMBN est un losange.
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{MBO}}$.

En déduire la mesure en degrés à un près par défaut de $\widehat{\text{MBO}}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés&Sinus&Cosinus& Tangente\\ \hline
26 &0,4384 &0,8988 &0,4877\\ \hline
27 &0,4540 &0,8910 &0,5095\\ \hline
28 &0,4695&0,8829 &0,5317\\ \hline
29 &0,4848 &0,8746 &0,5543\\ \hline
30 &0,5000 &0,8660 &0,577 4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit un trapèze MNPQ de bases [MN] et [PQ], tel que MQ = 4 et NP = 6 (l'unité étant le cm).

Soit E le point du segment [MQ] tel que ME $= 1,5$. 

La parallèle menée par E à (PQ) coupe [NP] en F.

Calculer NF{}.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit trois points O, A, B non alignés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point C tel que $\vect{\text{OC}} = \vect{\text{OA}} + \vect{\text{OB}}$.

\item Quelle est la nature du quadrilatère OACB ?
\item Soient D le milieu de [AB], E le symétrique de D par rapport à 0 et F le symétrique de D par rapport à B.

Démontrer que (EF) est parallèle à (OB).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Soit ABCD un rectangle dont les côtés ont pour longueur AB $= 7$ \:; AD $= 6$ (l'unité choisie étant le cm).

E est le point de [AB] tel que AE $= 3$.

M est le point de [AD] tel que AM $= x$ ($x$ réel positif, $0 \leqslant x \leqslant 6$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du rectangle ABCD et celle du triangle EBC.

Exprimer en fonction de $x$ l'aire du triangle AEM et celle du triangle MDC.

En déduire l'aire $S(x)$ du triangle MEC.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer EC$^2$.
		\item Exprimer EM$^2$ et MC$^2$ en fonction de $x$.
		\item Pour quelle valeur de $x$, le triangle MEC est-il rectangle en E ?
	\end{enumerate}
\item Montrer que le triangle MEC ne peut être isocèle de sommet principal E.
\end{enumerate}
\end{document}