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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small septembre 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer $\dfrac{2^2 \times 5}{3^2} - \dfrac{7}{3^2 \times 5}$.

Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire sans radical au dénominateur le nombre $a = \dfrac{3 + \sqrt 2}{\sqrt 2 - 1}$.

Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$ donner un encadrement de $a$.

En déduire une valeur approchée de $a$ par défaut à $0,01$ près.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$x$ étant un nombre réel, on considère l'expression 

\[A = (3 - 2x)(7x + 1) - 9 + 4x^2 + (3 - 2x)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Effectuer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Soit l'application numérique d'une variable réelle

\[\begin{array}{r c l}
f : \R& \to &\R\\
x &\longmapsto&|2x + 5|.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Exprimer $f(x)$ sans valeur absolue suivant les valeur de $x$.
\item Dessiner la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé du plan (1 cm pour une unité).
\item Résoudre graphiquement l'équation $|2x + 5| = 7$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\medskip

\begin{enumerate}
\item ABC est un triangle tel que

\begin{center} $\widehat{\text{BAC}} = 60\degres$\quad  et \quad $\widehat{\text{ABC}} = 40\degres$
.\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Construire ce triangle à l'aide du rapporteur en prenant AB =10, l'unité étant le centimètre.
		\item Calculer la mesure de $\widehat{\text{DCA}}$.
		\item La bissectrice de $\widehat{\text{DCA}}$ coupe [AB] en E.
		
Calculer les mesures des angles du triangle BCE.
		\item Soit M le milieu de [BC].
		
Montrer que (ME) est la médiatrice de [BC].
	\end{enumerate}
\item On considère un cube ABCDEFGH dont la longueur de la diagonale [AG] est $4\sqrt 3$.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(4.7,4.4)
\psframe(0.2,0.2)(2.9,2.9)%DCBA
\psline(2.9,0.2)(4.2,1)(4.2,3.7)(2.9,2.9)%CGFB
\psline(4.2,3.7)(1.5,3.7)(0.2,2.9)%FEA
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.5,1)(4.2,1)%DHG
\psline[linestyle=dashed](1.5,1)(1.5,3.7)%HE
\psline(2.9,0.2)(0.2,2.9)%CA
\psline[linestyle=dashed](0.2,2.9)(4.2,1)%AG
\uput[l](0.2,2.9){A} \uput[r](2.9,2.9){B} \uput[d](2.9,0.2){C} \uput[d](0.2,0.2){D}
\uput[u](1.5,3.7){E} \uput[u](4.2,3.7){F} \uput[r](4.2,1){G} \uput[ul](1.5,1){H}
\end{pspicture}
\end{center}

Soit $a$ la longueur de l'arête du cube. Exprimer AC en
fonction de $a$
.
On admet que le triangle ACG est rectangle en C. 

En utilisant ce triangle, calculer $a$.
\item En se plaçant en M à $250$~m de l'axe (AB) de la Tour
Eiffel, on la voit sous un angle de $52$\degres{} \:(voir le dessin ci-dessous).

Quelle est la hauteur AB de la Tour ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Angle (degrés)&Sinus&Cosinus&Tangente\\ \hline
52& 0,788&0,616&1,280\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(4,6)%fig Tour Eiffel
%\psgrid
\psline(-6,0)(4,0)\psline[linestyle=dashed](0,-1)(0,6)
\psarc(0,0){0.85}{0}{180}
\pscurve(1.7,0)(0.8,1)(0.5,2)(0.2,4.8)(0.3,5)
\pscurve(-1.7,0)(-0.8,1)(-0.5,2)(-0.2,4.8)(-0.3,5)
\psarc(0,5){0.3}{0}{180}
\psline(-0.3,5)(0.3,5)
\psline(-4.4,0)(0,5.7)
\psarc(-4.4,0){1}{0}{52}\rput(-3.2,0.5){$52\degres$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(-4.4,-0.3)(0,-0.3)\uput[d](-2.2,-0.3){250~m}
\uput[dl](-4.4,0){M}\uput[dr](0,0){B}\uput[ur](0,5.7){A}
\psdots(-4.4,0)(0,0)(0,5.7)
\pspolygon(0.85,1.1)(0.95,1.2)(-0.95,1.2)(-0.85,1.1)
\pspolygon(0.45,2.2)(0.55,2.3)(-0.55,2.3)(-0.45,2.2)
\psline(0,5)(0,5.7)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

On considère un repère orthonormé \Oij{}
(unité 1~cm) et les points B et C de coordonnées respectives (3~;~0) et (0~;~4).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC.
\item D et E sont les symétriques respectifs de B et C par
rapport à O.

Quelle est la nature du quadrilatère BCDE ? 

Quel est le périmètre de ce quadrilatère ?
\item Construire le point F tel que $\vect{\text{OF}} = 3\vect{\text{OB}}$. 

Quelles sont les coordonnées de F ?
\item La parallèle à (FC) passant par B coupe (OC) en G.

Calculer $\dfrac{\overline{\text{OG}}}{\overline{\text{OC}}}$ puis les coordonnées de G. 
\item Donner une équation des droites (DG) et (BC) et le coordonnées de leur point d'intersection M.

En déduire que M est le milieu de [BC]. 

Pouvait-on prévoir ce résultat ? Justifier la réponse.
\item Construire le point N tel que $\vect{\text{ON}} = \vect{\text{OB}} + \vect{\text{OC}}$.

Quelle est la nature du quadrilatère OBNC ?

En déduire que ON $= 5$ et que les points O, B, N, C appartiennent à un cercle $C$ dont on précisera le centre et le rayon.
\end{enumerate}
\end{document}