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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I.}

On donne la fonction rationnelle 

\[\begin{array}{l l l }
q :	&\R \longrightarrow &\R \\
	&x \longmapsto		&f(x)  = \dfrac{\left(- x^2 + 18x - 81\right) (- x + 4)}{(2x - 8) \left(9x^2 + 6x + 1\right)}\\
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme de produits de facteurs du premier degré, les polynôme du second degré figurant dans l'écriture de $f(x)$ ci-dessus.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $D$ de la fonction $f$.
		\item Pour tout $x$ de $D$ donner une écriture simplifiée de $f(x)$ : soit $f_1(x)$. 
		\item Calculer, si elles existent, les images par $f$ de $0$ et $4$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble P des réels x tels que fI (x) ~ 0 . 
		\item On considère la fonction numérique

\[\begin{array}{l l l }
q :	&\R \longrightarrow &\R \\
	&x \longmapsto		&g(x)  = \sqrt{g_1(x)}
\end{array}\]
	
Quel est l'ensemble de définition $\Delta$ de la fonction $g$ ?
		\item Pour tout $x$ de $\Delta$ donner une écriture de $g(x)$ ne comportant pas de radical.
		\item Calculer, si elles existent, les images par $g$ de $0$ et $4$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier suivant les valeurs du réel $x$ le signe de $(x - 9)$ puis de  $(3x + 1)$.

En déduire le signe de l'expression
$\dfrac{x - 9}{3x + 1}$ dans $\left]- \dfrac{1}{3}~;~9\right]$.
		\item Résoudre dans l'ensemble $\left]- \dfrac{1}{3}~;~9\right]$ l'équation 
		
		$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left|\dfrac{x - 9}{3x + 1} \right| = 1$.

Donner la solution sous forme d'un quotient dont le dénominateur est entier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B.} - La quatrième question est indépendante des trois autres.

\vspace{0,5cm}

\textbf{II .}

\medskip

Dans le plan $\pi$ rapporté à un repère orthonormé \Oij, placer les points I, J, A, B tels que
 
\[\vect{\text{OI}} = \vect{\imath}, \quad  \vect{\text{OJ}} = \vect{\jmath},\quad  \vect{\text{OA}} = - 2\vect{\imath} - \vect{\jmath},\quad \vect{\text{OB}} =- \vect{\imath}+ \vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point C tel que (A, B, C, I) soit un parallélogramme.

Calculer les coordonnées du point D symétrique du point A par rapport au point I.
\item Écrire une équation des droites (AB) et (CD).

Calculer les coordonnées du point E intersection des droites (AB) et (CD). 

Montrer que C est le milieu du bipoint (E, D).



\item Montrer que (B, E, C, I) est un carré.
\item Calculer la tangente de l'écart angulaire $\alpha$ de l'angle géométrique 
$\widehat{\text{EBD}}$.

Calculer, à l'aide des tables trigonométriques, cet écart angulaire à 1 minute près, par défaut.

En déduire, à 1 minute près par excès, l'écart angulaire $\beta$ de l'angle géométrique $\widehat{\text{EDB}}$
\end{enumerate}
\end{document}